Multidimensional Scaling restringido y su tratamiento computacional. Aplicación a superficies esféricas

• Autores: Ricardo Patricio Subiabre Salazar
• Directores de la Tesis: José Fernando Vera Vera (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: español
• ISBN: 9791370151836
• Número de páginas: 96
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen
  • español

    La clasificación y representación de objetos a partir de sus características específicas o contextos de aplicación conducen permanentemente a la formulación de nuevas metodologías y herramientas de modelado estadístico sobre datos de disimilaridad, capaces de cubrir necesidades actuales en el ámbito del desarrollo científico y tecnológico de diversas áreas del conocimiento. Bajo este contexto, se han desarrollado varias herramientas estadísticas para el análisis de datos de disimilaridad, entre las cuales se destacan el Escalamiento Multidimensional (MDS) y el Análisis de Conglomerados (AC). El MDS corresponde a un conjunto de métodos que principalmente buscan representar un conjunto de objetos en un espacio de baja dimensionalidad, generalmente euclidiano, mientras que el AC busca clasificar los objetos en grupos llamados clusters. Dada la naturaleza matemática y analítica de ambos métodos, estos son utilizados con frecuencia de manera combinada para obtener una mayor comprensión de la estructura de los datos (Kruskal, 1977), especialmente cuando se requiere representar y/o clasificar grandes cantidades de elementos a partir de su información estadística. Esto ha dirigido el interés hacia un campo más específico del MDS: los modelos MDS con restricciones y, en particular, los modelos Cluster-MDS (véase, por ejemplo, Heiser y Groenen, 1997; Vera et al., 2008). Si bien el MDS se ha extendido incorporando restricciones que permiten obtener representaciones en espacios geométricos específicos, como entornos esféricos (véase, por ejemplo, Cox y Cox, 1991; de Leeuw y Mair, 2009), su aplicación simultánea con el AC en el contexto de la esfera S(m−1) no ha sido investigada. En este trabajo se presenta un modelo Cluster-MDS en la esfera, denominado CSS (del inglés Cluster Spherical Scaling), cuyo objetivo es clasificar N objetos y representar sus K centros de cluster en la esfera mediante un algoritmo de dos etapas alternantes (clasificación y representación). El modelo CSS utiliza métodos de agrupamiento K-medias para la clasificación de los objetos y mayorización iterativa restringida (método MDS-Q Primal) para la representación de los centros de cluster en cada iteración. Adicionalmente, en cada etapa de representación (MDS) se realiza una transformación de razón para determinar el radio óptimo en términos de las distancias geodésicas de los centros de cluster. Para evaluar el desempeño del modelo CSS se realizó un experimento Monte Carlo considerando distintos escenarios simulados mediante distribuciones de von Mises-Fisher (vMF) en la esfera unitaria, con un total de 640 casos balanceados y 640 casos no balanceados. El análisis contrastó distintos niveles de concentración (y, por ende, de solapamiento entre clusters), cantidades de datos originales y números de clusters. Para cada caso se realizaron análisis comparativos evaluando la calidad de la clasificación obtenida mediante el Índice Rand Ajustado (ARI), comparando la clasificación generada por el modelo con la clasificación original simulada. Asimismo, se evaluó el grado de recuperación de la representación de los centros de cluster obtenida por el modelo (transformada mediante Procrustes) respecto de la configuración real de los centros simulados (centros geográficos), utilizando coeficientes de congruencia (CC). Además, se analizó la eficiencia computacional del modelo mediante la comparación de los tiempos de CPU (t) a medida que aumentaba el volumen de datos simulados. Los resultados mostraron un desempeño favorable, principalmente en los escenarios con menor nivel de solapamiento entre clusters. Además, se ilustró el funcionamiento del modelo mediante un ejemplo aplicado a datos reales, específicamente 500 observaciones asociadas a temperaturas medias del aire en la superficie terrestre, considerando un total de K = 15 centros de cluster y acompañando los resultados con representaciones gráficas. Adicionalmente, se desarrolló un ejemplo de análisis en el contexto de la interpolación espacial mediante técnicas de regresión spline suavizada en la esfera, demostrando un buen desempeño en términos del Error Cuadrático Medio (MSE). También se realizó un análisis comparativo entre un modelo de dos etapas y el modelo CSS, contrastando sus respectivos valores de stress normalizado: 0,01077115 y 0,009900273, respectivamente, lo que refleja un mejor desempeño del modelo CSS propuesto. Finalmente, se discuten las ventajas y limitaciones del modelo CSS, así como posibles extensiones para futuras investigaciones.

  • English

    The classification and representation of objects based on their specific characteristics or application contexts continually lead to the development of new methodologies and statistical modeling tools for dissimilarity data, capable of meeting current needs in the field of scientific and technological development across various areas of knowledge. In this context, several statistical tools have been developed for the analysis of dissimilarity data, among which Multidimensional Scaling (MDS) and Cluster Analysis (CA) stand out. MDS corresponds to a set of methods that primarily seek to represent a set of objects in a low-dimensional space, usually Euclidean, while CA seeks to classify objects into groups called clusters. Given the mathematical and analytical nature of both methods, they are often used in combination to gain a deeper understanding of data structure (Kruskal, 1977), especially when large numbers of elements need to be represented and/or classified based on their statistical information. This has directed interest toward a more specific field of MDS, namely constrained MDS models and, within this context, Cluster-MDS models (see, e.g., Heiser & Groenen, 1997; Vera et al., 2008). Although MDS has been extended by incorporating constraints that allow representations to be obtained in specific geometric spaces such as spherical environments (see, e.g., Cox & Cox, 1991; de Leeuw & Mair, 2009), its simultaneous application with CA in the context of the sphere S(m−1) has not been investigated. This work presents a Cluster-MDS model on the sphere, called CSS (Cluster Spherical Scaling), whose objective is to classify N objects and represent their K cluster centers on the sphere using a two-stage alternating algorithm (classification and representation). The CSS model uses K-means clustering methods to classify objects and restricted iterative majorization (Primal MDS-Q method) to represent the cluster centers at each iteration. Additionally, a ratio transformation is performed during each MDS representation stage to determine the optimal radius in terms of the geodesic distances between cluster centers. To evaluate the performance of the CSS model, a Monte Carlo experiment was conducted considering different scenarios simulated using von Mises–Fisher (vMF) distributions on the unit sphere, with a total of 640 balanced cases and 640 unbalanced cases. The analyses contrasted different levels of concentration (and therefore overlap among clusters), sample sizes, and numbers of clusters. For each case, comparative analyses were performed to evaluate the quality of the classification obtained by the model against the original simulated classification using the Adjusted Rand Index (ARI). The degree of recovery achieved through the model's representation of cluster centers (after Procrustes transformation) was compared with the true configuration of the simulated cluster centers (geographical centers) using Congruence Coefficients (CC). Furthermore, the computational efficiency of the model was assessed by comparing CPU times (t) as the volume of simulated data increased. The results showed favorable performance, particularly in scenarios with lower levels of overlap among clusters. The proposed model was also illustrated through an application to real data, specifically 500 observations associated with mean air temperatures at the Earth's surface, considering a total of K = 15 cluster centers and accompanied by graphical representations. Additionally, an example analysis was carried out in the context of spatial interpolation using smoothing spline regression techniques on the sphere, demonstrating good performance in terms of the observed Mean Squared Error (MSE). A comparative analysis was also conducted between a two-stage model and the CSS model by comparing their respective normalized Stress values, 0.01077115 and 0.009900273, respectively, obtaining a lower value for the proposed CSS model. Finally, the advantages and limitations of the CSS model are discussed, along with possible extensions for future research.