Grafos de Haros: una representación exótica de los números reales

• Autores: Jorge Calero Sanz
• Directores de la Tesis: Bartolomé Luque Serrano (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Politécnica de Madrid ( España ) en 2022
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Juan Manuel Rodríguez Parrondo (presid.) , Juan Carlos Sanz Nuño (secret.) , Fernando J. Ballesteros Roselló (voc.) , Miguel Angel Martín Martín (voc.) , Lucas Lacasa Saiz de Arce (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Sistemas Complejos por la Universidad Politécnica de Madrid
• Calificación: Sobresaliente Cum Laude
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Archivo Digital UPM
• Resumen

  • El estudio de la estructura del conjunto de los números reales ha sido abordado a través de distintas perspectivas. En particular, la teoría de números acomete la clasificación de los números reales en distintas familias, como la distinción racional/irracional o algebraico/trascendente. En esta tesis se propone una nueva representación del intervalo real [0,1] a través de grafos, que llamaremos grafos de Haros. Esta construcción reproduce la manera de construir el intervalo unidad a través del Árbol binario de Farey, partiendo de un grafo inicial y una operación de concatenación de grafos de modo que el conjunto resultante está en biyección con los números reales. Una vez que la representación queda bien definida, se analizan propiedades de los números reales a través de sus grafos de Haros asociados. La estructura topológica de los grafos de Haros develará una clasificación de los números reales en distintas familias, siendo la herramienta para estudiar dicha estructura la distribución de grado. Además, se presenta una función de entropía, que resulta ser continua y fractal, donde todos los racionales son mínimos locales y los irracionales cuadráticos máximos locales de la entropía. Finalmente, se presenta un operador de renormalización que actúa sobre los grafos de Haros. La dinámica engendrada por su iteración divide el espacio de grafos de Haros en grafos racionales que son arrastrados al grafo nulo, órbitas periódicas inestables asociadas a los irracionales cuadráticos y en órbitas caóticas para el resto de irracionales. Se acaba con el estudio de la variación de la entropía a lo largo de las trayectorias y ciclos periódicos que dicta el operador renormalización, encontrando la relación entre entropía y renormalización