Chaos and dynamics in a fractional duffing equation

• Autores: Sara Hamaizia
• Directores de la Tesis: Salvador Jiménez Burillo (dir. tes.) , María Pilar Velasco Cebrián (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Politécnica de Madrid ( España ) en 2024
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jesus Miguel Seoane Sepulveda (presid.) , Fernando San José Martínez (secret.) , Víctor José García Garrido (voc.) , Julia María García Luengo (voc.) , Eduardo Cuesta Montero (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática, Estadística e Investigación Operativa por la Universidad Complutense de Madrid y la Universidad Politécnica de Madrid
• Calificación: Sobresaliente Cum Laude
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Archivo Digital UPM
• Resumen

  • La ecuación de Duffing es un sistema dinámico no lineal conocido por presentar comportamiento caótico. Sirve como un modelo estándar para explorar el caos en sistemas dinámicos de baja dimensión. En este trabajo, caracterizamos el caos en la ecuación de Duffing con rigidez lineal negativa y una disipación fraccional. La forma fraccional de la ecuación estudiada es una sustitución de la derivada de primer orden en la ecuación de Duffing con una derivada fraccional de Caputo de orden alfa, con valores dentro de los intervalos (0, 1) y (1, 2). Establecemos que el espacio de fases del problema estudiado tiene tres dimensiones, representando los parámetros que definen el estado del sistema. Sin embargo, con la fase mantenida constante, podemos tratar de manera efectiva el espacio de fases como bidimensional, simplificando el análisis de la dinámica del sistema. Demostramos que los soluciones regulares no son T-periódicas. Aproximamos la ecuación de Duffing fraccional usando un nuevo método numérico basado en dos enfoques: el de Strauss-Vázquez para sistemas conservativos y la representación de Odibat para la derivada fraccional. El propósito de las simulaciones numéricas es explorar cómo la amplitud y el orden de la derivada fraccional alfa influyen en el sistema. El sistema muestra una diversa gama de comportamientos dependiendo de estos dos parámetros. En nuestro estudio, hemos explorado varios valores para la amplitud y para alfa, para presentar las soluciones más significativas: soluciones regulares, soluciones caóticas, transitorios caóticos largos, soluciones que cambian de atractores regulares o caóticos y régimen intermitente. Para aclarar los diversos comportamientos presentados por el sistema fraccionario, estimamos los Exponentes Característicos de Lyapunov (LCEs) y los extendemos a todo el rango de valores de alfa. Para analizar el umbral del caos en esta ecuación, extendemos el método de Melnikov al caso fraccional y realizamos un análisis comparativo entre el umbral de caos analítico y su contraparte numérica. La extensión a valores de alfa perteneciente al intervalo (1, 2) también está motivada por el hecho de que a medida que alfa tiendea 2-, el modelo fraccionario se aproxima a un sistema límite donde no existe amortiguamiento ni punto de silla. Y ese sistema puede considerarse equivalente, al menos para algunos rangos de los parámetros, al que se obtiene en el límite opuesto, cuando alfa tiende a 0+. De esta manera, las ecuaciones fraccionarios pueden verse como una interpolación entre la ecuación de Duffing (límite alfa = 1) y un sistema forzado sin amortiguamiento. En este trabajo, examinamos el comportamiento del sistema fraccionario en la vecindad de estos límites. Para alfa perteneciente al intervalo (1, 2), el comportamiento intermitente es notablemente común, con sus manifestaciones influenciadas por el número de canales de reinyección presentes. A través del análisis de gráficos de mapas de retorno, que delinean estos canales, junto con aproximaciones de la longitud laminar promedio correspondiente a la intermitencia de tipo I y aprovechando los multiplicadores de Floquet, clasificamos ciertos casos como intermitencia de tipo I.