On the Logarithmic Comparison Theorem and strong Euler-homogeneity for complex Hypersurfaces

• Autores: Abraham del Valle Rodríguez
• Directores de la Tesis: Alberto Castaño Domínguez (dir. tes.) , Luis Narváez Macarro (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 141
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen
  • español

    El principal objetivo de esta tesis es abordar una conjetura en Teoría de Singularidades, planteada inicialmente en 2002 en el caso de los divisores libres: todo divisor que satisfaga el Teorema de Comparación Logarítmica (TCL) debe ser fuertemente Euler-homogéneo. Previamente, solo se conocía su veracidad para divisores libres en dimensión ambiente n menor o igual que tres o para los divisores de tipo Koszul-libre. Más recientemente, D. Bath y M. Saito han probado esta conjetura para el caso de singularidades aisladas. En este trabajo estudiamos este problema en detalle y damos algunos pasos en dirección a su solución, principalmente en el caso libre.

    Para tal fin, se avanza en primer lugar en la comprensión de la propiedad de Euler-homogeneidad fuerte para un divisor arbitrario, proporcionando caracterizaciones de esta en términos algebraicos y geométricos. También se estudian nuevas propiedades de Saito-holonomicidad, que extienden las propiedades de tipo Koszul-libre al caso general, y se caracterizan de manera similar.

    Gracias a estos avances, somos capaces de proporcionar pruebas alternativas a la conjetura en los casos conocidos y de demostrar su veracidad en algunos nuevos casos. Destacan entre ellos el caso n=4 libre y el caso débilmente Koszul-libre en dimensión arbitraria. Entre otros resultados relacionados con el Teorema de Comparación Logarítmica y la Euler-homogeneidad fuerte, también refutamos otra conjetura que establece que todo divisor lineal libre satisface estas propiedades y tiene una b-función con raíces simétricas respecto de -1.

    Finalmente, como resultado de un trabajo conjunto con D. Bath y U. Walther, damos una caracterización del TCL en términos de D-módulos, basándonos para ello en un trabajo previo de D. Bath y M. Saito. Este resultado nos permite prescindir de la hipótesis de libertad y demostrar que en dimensión ambiente n=3 cualquier divisor que satisfaga el Teorema de Comparación Logarítmica es fuertemente Euler-homogéneo y débilmente Saito-holónomo.

  • English

    The main objective of this dissertation is to address a conjecture in Singu-larity Theory, originally proposed in 2002 for free divisors: every divisor satis-fying the Logarithmic Comparison Theorem (LCT) is necessarily strongly Euler-homogeneous. Until now, its validity had only been established for free divisors in ambient dimension n ≤ 3 or for Koszul-free divisors in arbitrary dimension. More recently, D. Bath and M. Saito have proven this conjecture for isolated singularities. In this dissertation we study this problem in detail and make progress towards its solution, mainly in the free case.

    To that end, we first advance in the comprehension of strong Euler-homogeneity for an arbitrary divisor, characterizing it in both algebraic and geometric terms. New variants of Saito-holonomicity extending Koszul-free type properties to the general case are also studied and similar characterizations are given.

    Thanks to these advances, we are able to provide alternative proofs to the con-jecture in the known cases and to show its veracity in some new cases. Particularly noteworthy are the free n = 4 case and the weakly Koszul-free case in arbitrary dimension. Among other results concerning LCT and strong Euler-homogeneity, we also refute another conjecture stating that all linear free divisors satisfy these properties and have b-functions with symmetric roots about −1.

    Finally, as a result of joint work with D. Bath and U. Walther, we give a DX -module characterization of LCT, which is based on earlier work by D. Bath and M. Saito. With this result we are able to drop the freeness hypothesis and show that any divisor in ambient dimension n = 3 satisfying the Logarithmic Comparison Theorem is strongly Euler-homogeneous and weakly Saito-holonomic.