Métodos matemáticos y computacionales en elastografía

• Autores: Carolina Abugattas Chacoff
• Directores de la Tesis: Ana María Carpio Rodríguez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2025
• Idioma: español
• Número de páginas: 125
• Tribunal Calificador de la Tesis: José Ignacio Hidalgo Pérez (presid.) , J. Segurado (secret.) , Macarena Gómez Mármol (secret.) , Mihaela Negreanu Pruna (secret.) , Virginia Selgas Buznego (secret.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen
  • español

    Los problemas inversos tienen como objetivo reconstruir anomalías presentes en medios físicos a partir de datos medidos. En este trabajo, consideramos problemas inversos en configuraciones geofísicas, donde el problema directo es una ecuación de onda dependiente del tiempo que modela la propagación de ondas elásticas, establecida en un dominio computacional acotado con condiciones de contorno no reflectantes. Generamos observaciones a partir de los datos obtenidos por receptores ubicados en el límite superior del dominio computacional, que definen los operadores de observación. Al agregar ruido gaussiano, generamos datos sintéticos, que nos permiten crear problemas inversos bayesianos para probar nuestros métodos. Utilizando el teorema de Bayes, definimos la probabilidad posterior de encontrar una anomalía en el dominio. Para lograr esto, construimos probabilidades a priori y probabilidades condicionales (o de verosimilitud) como distribuciones gaussianas multivariadas. La distribución a priori incorpora el conocimiento disponible mientras que la verosimilitud compara los datos verdaderos con los datos observados para las anomalías propuestas al resolver el problema directo, ponderados por el nivel de ruido. Su logaritmo define un funcional de coste regularizado con un término tipo Tikhonov basado en la información a priori. Consideramos primero problemas inversos de baja dimensión, en los que el objetivo es reconstruir una anomalía con una forma elíptica definida por unos pocos parámetros geométricos y materiales. Ideamos un algoritmo tipo Fletcher-Levenberg-Marquardt para determinar los parámetros de interés ν. Este algoritmo comienza con valores a priori ν0 y los actualiza iterativamente para encontrar los parámetros desconocidos ν que maximizan la probabilidad posterior (o equivalentemente, minimizan la función de costo regularizada) permitiendo la reconstrucción de la anomalía. Una vez determinada la configuración de máxima probabilidad, cuantificamos la incertidumbre mediante una aproximación de Laplace. Los problemas inversos de alta dimensión, como la reconstrucción de campos de densidad y velocidad en un contexto geofísico, requieren técnicas diferentes. Introducimos dos enfoques. El primero considera parametrizaciones basadas en expansiones de Fourier truncadas y busca un número finito de coeficientes considerados como variables aleatorias. Formulamos el problema bayesiano inverso y cuantificamos la incertidumbre mediante muestreo de Markov Chain Monte Carlo (MCMC), más precisamente, mediante un muestreador invariante afín. El segundo considera los campos desconocidos como campos aleatorios y recurre a expansiones truncadas de Karhunen-Loève asociadas a la covarianza a priori. Estudiamos el problema bayesiano inverso mediante un muestreador de conjuntos funcional adaptado a problemas en dimensión infinita. Testamos los métodos propuestos en la caracterización de trampas de petróleo y gas cercanas a domos salinos.

  • English

    Inverse problems aim to reconstruct anomalies present in physical media from measured data. In this work, we consider inverse problems in geophysical set-ups, where the forward problem is a time dependent wave equation which models the propagation of elastic waves, set in a bounded computaional domain with non-reflective boundary conditions. We generate observations from the data obtained by receivers positioned at the upper boundary of the computational domain, which define the observation operators. By adding Gaussian noise, we generate synthetic data, which allow us to create bayesian inverse problems to test our methods. Using Bayes’ theorem, we define the posterior probability of finding an anomaly in the domain. To achieve this, we construct prior and conditional (or likelihood) probabilities as multivariate Gaussian distributions. The prior distribution incorporates available knowledge while the likelihood compares the true data with data observed for proposed anomalies by solving the forward problem, weighted by the noise level. Its logarithm defines a cost functional regularized by a Tikhonov type term based on the prior information. We consider first low-dimensional inverse problems, where the goal is to reconstruct an anomaly with an elliptical shape defined by a few geometric and material parameters. We devise a FletcherLevenberg-Marquardt type algorithm to determine the parameters of interest ν. This algorithm starts with prior values ν0 and updates them iteratively to find the unknown parameters ν that maximize the posterior probability (or equivalently, minimize the regularized cost function) allowing the reconstruction of the anomaly. Once the configuration of maximum probability is determined, we quantify uncertainty by means of a Laplace approximation. High-dimensional inverse problems, such as the reconstruction of density and velocity fields in a geophysical context, require different techniques. We introduce two approaches. The first one considers parameterizations based on truncated Fourier expansions and seeks a finite number of coefficients considered as random variables. We formulate the inverse bayesian problem and quantify uncertainty by Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling, more precisely, by means of an affine invariant sampler. The second one considers the unknown fields as random fields and resorts to truncated Karhunen-Loève expansions associated to the prior covariance. We study the bayesian inverse problem by means of a functional ensemble sampler adapted to infinite dimensional problems. We test the proposed methods in the characterization of oil and gas traps near salt domes.