Problema de Waring para formas binarias reales

• Autores: Macarena Ansola
• Directores de la Tesis: Antonio Díaz-Cano Ocaña (dir. tes.) , María Ángeles Zurro Moro (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2023
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: María Emilia Alonso García (presid.) , Enrique Arrondo Esteban (secret.) , Laureano González Vega (voc.) , María Pilar Vélez Melón (voc.) , Tomás Jesús Recio Muñiz (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen

  • El Problema de Waring sobre anillos de polinomios aborda el problema de la reescritura de un polinomio homogéneo de grado d como una suma finita de potencias d-ésimas de formas lineales. El objetivo de este trabajo es el estudio de este problema en el caso de polinomios homogéneos reales en dos variables o formas binarias reales.

    Uno de los aspectos relacionados con este Problema más detalladamente estudiado consiste en determinar la longitud de estas descomposiciones o bien acotarla. Nuestro trabajo proporciona un método constructivo para obtener una descomposición de Waring real (WD) para cualquier forma binaria real dada, cuya longitud sea como máximo el grado de dicha forma (capítulo 2). Conocida la cota anterior, adaptamos el algoritmo de Sylvester (resultado obtenido en el s. XIX para el caso de formas binarias complejas) al caso real, con el fin de determinar una WD con longitud mínima, es decir, la que da el rango. Usamos matrices bezoutianas para lograr lo que llamamos una descomposición óptima. Este resultado se encuentra en el capítulo 3.

    Tanto en el capítulo 2 como en el 3, el enfoque algorítmico del problema de Waring es el que ha ido guiando nuestro trabajo. Por tal motivo, presentamos sendos algoritmos para determinar las WD que hemos descrito anteriormente.

    En el capítulo 4 se encuentra el análisis de los aspectos geométricos del problema en una doble vertiente. Por una parte, en la sección 4.1, consideramos todas las formas binarias reales de un grado dado y estudiamos cómo descomponer este espacio como una unión finita de conjuntos semialgebraicos definidos según el rango real de las formas. Ilustramos nuestros resultados con las descripciones explícitas en los casos más sencillos (grados 3 y 4) en la sección 4.3. Por otra parte, en la sección 4.2 optamos por la perspectiva inversa del problema que nos ocupa: partimos de una forma binaria dada y estudiamos el conjunto de todas las posibles WD asociadas a ella, analizando la geometría que subyace en la forma binaria.

    Los resultados recogidos en el capítulo 5 están asociados al tema del rango típico y las formas típicas en su rango, esto es, formas para las cuales existe un entorno donde cualquier otra forma tiene el mismo rango. En la sección 5.3 ofrecemos una manera de construir la descripción paramétrica para entornos de una forma típica. De nuevo detallamos la construcción por medio de un algoritmo (subsección 5.3.2). Concluimos el capítulo con la aplicación de estas descripciones paramétricas a la integración sobre triángulos, por medio de la fórmula integral de Brion.

    La memoria contiene un capítulo final de conclusiones donde se incluye una lista de problemas abiertos sobre estos temas.

    Para finalizar, afirmamos que las técnicas de la Geometría Real se muestran esenciales para resolver de forma efectiva el Problema de Waring cuando consideramos formas reales. Las peculiaridades de los conjuntos semialgebraicos hacen necesario un tratamiento específico que dista mucho del enfoque habitual que se emplea al trabajar sobre los complejos. Esto se ilustra en numerosos ejemplos en esta memoria.