Stochastic calculus beyond Itô: Hänggi-Klimontovich, equivalence and cloaking

• Autores: Helder Alan Rojas Molina
• Directores de la Tesis: Carlos Escudero Liébana (dir. tes.)
• Lectura: En la UNED. Universidad Nacional de Educación a Distancia ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 100
• Tribunal Calificador de la Tesis: Enrique Alfonso Abad Jarillo (presid.) , Miguel Angel Sama Meige (secret.) , Thibault Bertrand (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: e-spacio
• Resumen
  • español

    En esta tesis se desarrolla un marco matemático riguroso que conecta modelos estocásticos microscópicos con ecuaciones macroscópicas de transporte bajo distintas interpretaciones del cálculo estocástico. Partiendo del cálculo de Itô, se amplía el análisis incorporando la interpretación de Hänggi–Klimontovich (HK), que aunque utilizada habitualmente en la física estadística, carecía hasta ahora de una formalización multidimensional comparable. Se demuestra la equivalencia exacta entre la integral HK y una formulación en Itô con términos deterministas de corrección, clarificando cómo estas interpretaciones afectan la evolución de trayectorias individuales y de densidades de probabilidad. Además, bajo la interpretación HK, se encontraron condiciones estructurales específicas para el tensor de difusión que establecen una conexión subyacente entre la descripción estocástica microscópica, descrita mediante una ecuación diferencial estocástica, y la descripción determinista macroscópica, descrita mediante una ecuación de convección-difusión. Además, se presentan varios casos concretos donde se cumplen dichas condiciones, lo que resalta la relevancia física de las condiciones matemáticas obtenidas.

    Un hallazgo relevante de esta investigación es que, en determinados sistemas físicos, ni la interpretación HK ni la de Stratonovich describen adecuadamente el fenómeno, siendo el cálculo de Itô el que proporciona un modelo coherente con los resultados esperados, lo que otorga una renovada importancia práctica a esta formulación.

    Finalmente, los desarrollos metodológicos de este trabajo se aplican al diseño de metamateriales capaces de inducir cloaking estocástico, mostrando así que, mediante la manipulación espacial del tensor de difusión y el uso específico de la interpretación de Itô, es posible ocultar regiones del espacio frente a partículas difusivas, Este enfoque integra el análisis estocástico las bases para futuras investigaciones en la intersección entre probabilidad, ecuaciones en derivadas parciales y el diseño de materiales.

  • English

    This thesis develops a rigorous mathematical framework that connects microscopic stochastic models with macroscopic transport equations under different interpretations of stochastic calculus. Starting from Itˆo calculus, the analysis is carefully extended to include the H¨anggi–Klimontovich (HK) interpretation, which, although commonly used in statistical physics, lacked until now a comparable formal multidimensional foundation. The work establishes the exact equivalence between the HK integral and an Itˆo formulation with explicit deterministic correction terms, clarifying how these interpretations affect the evolution of individual trajectories and probability densities.

    Furthermore, under the HK interpretation, specific structural conditions for the diffusion tensor were found that establish an underlying connection between the microscopic stochastic description, described by a stochastic differential equation, and the macroscopic deterministic description, described by a convection-diffusion equation. Moreover, several concrete cases are presented where such conditions are met, thus highlighting the physical relevance of the obtained mathematical conditions.

    A relevant finding of this work is the fact that in certain physical systems, neither the HK nor the Stratonovich interpretation adequately describes such phenomena. However, Itˆo’s calculation provides a plausible and consistent model under expected physical criteria. This reaffirms the practical importance of Itˆo’s formulation in modeling systems with heterogeneous diffusion.

    Finally, the methodological developments of this work are applied to the design of metamaterials capable of inducing stochastic cloaking, thus demonstrating that through spatial manipulation of the diffusion tensor and the specific use of the Itˆo interpretation, it is possible to cloak regions of space from diffusive particles. This approach integrates abstract stochastic analysis with innovative applications in materials science, laying the groundwork for future research at the intersection of probability, partial differential equations, and materials design.