Sobolev Spaces of Vector-valued and Metric-valued Mappings

• Autores: Iván Caamaño
• Directores de la Tesis: Jesús Angel Jaramillo Aguado (dir. tes.) , Estibalitz Durand Cartagena (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2024
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 104
• Títulos paralelos:
  • Espacios de Sobolev de Funciones con Valores Vectoriales y Métricos
• Tribunal Calificador de la Tesis: Mar Jiménez Sevilla (presid.) , José González Llorente (secret.) , Aris Daniilidis (voc.) , Rafael Espínola García (voc.) , Juha Kinnunen (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen

  • Esta tesis se sitúa dentro del campo del Análisis en Espacios Métricos. En este contexto, el estudio de las clases de funciones Lipschitz, Sobolev y relacionadas tiene una relevancia particular. Abordamos una serie de problemas relacionados con diferentes clases de funciones definidas en dominios euclídeos o en espacios métricos de medida, que toman valores en espacios vectoriales o métricos. Los problemas abordados giran en torno a dos aspectos principales: en primer lugar, investigar las diversas propiedades de diferenciabilidad exhibidas por las funciones Lipschitz o Sobolev consideradas, con una noción adecuada de regularidad para funciones con valores en espacios métricos, empleando la noción de diferenciabilidad métrica; y en segundo lugar, proporcionar una descripción detallada de los espacios que comprenden funciones de variación acotada entre espacios métricos, y examinar las propiedades de regularidad de tales funciones, En primer lugar, centraremos el estudio en aquellos espacios métricos de medida que presentan una estructura diferenciable de Cheeger, con el objetivo de determinar las condiciones bajo las cuales se puede establecer un concepto de diferenciabilidad métrica para funciones que toman valores en un espacio métrico arbitrario. Para abordar esta cuestión, estudiaremos en detalle el concepto de diferenciabilidad métrica definida para funciones en espacios métricos de medida, mediante el uso de cartas, y daremos un resultado de tipo Rademacher utilizando esta noción de diferenciabilidad métrica para funciones Lipschitz entre espacios métricos, y como consecuencia un teorema de Stepanoff, ambos bajo la condición, necesaria y suficiente, de que el espacio de partida admita una descomposición rectificable.

    En segundo lugar, consideraremos clases de Sobolev de funciones con valores en un espacio de Banach y con dominios Euclideos. Para ello estudiaremos y compararemos dos clases de funciones, los espacios de Sobolev clásicos definidos mediante derivadas distribucionales y los espacios de Sobolev-Reshetnyak, formados por aquellas funciones que la composición con funcionales del espacio de llegada pertenece a la clase de funciones de Sobolev, con energías uniformemente acotadas. La discusión sobre estos dos espacios nos lleva a concluir que en general el espacio de Sobolev es un subespacio cerrado del espacio de Sobolev-Reshetnyak, y que coincidirán si, y sólo si, el espacio de llegada tiene la propiedad de Radon-Nikodým. Se obtienen además una serie de resultados que caracterizan el espacio de Sobolev-Reshetnyak en función de continuidad absoluta en líneas y la existencia de derivadas parciales métricas o débil*, de forma similar a la caracterización de Beppo-Levi para los espacios de Sobolev clásicos.

    Por último, estudiaremos las funciones de variación acotada entre espacios métricos, con especial interés en funciones con valores en un espacio de Banach. Para ello, se plantean dos posibles definiciones, una a través de una aproximación mediante funciones de Newton-Sobolev y otra a través del comportamiento en curvas mediante la existencia de una sucesión aproximante que sustituye al gradiente superior, utilizando el concepto de AM-módulo. En general veremos que la primera definición da lugar a un espacio más pequeño, pero ambos coinciden si el dominio es un espacio métrico de medida doblante y con una desigualdad de Poincaré y el espacio de llegada es de Banach. Dado que supone una mayor generalidad, elegimos la segunda definición para realizar el estudio de las propiedades de regularidad, para lo que estudiaremos los puntos de no continuidad aproximada a través del conjunto de salto de una función de variación acotada. Veremos que los conjuntos de salto son sigma-finitos para la medida de co-dimensión 1 de Hausdorff, y que para casi todo punto con respecto a esta medida una función de variación acotada toma a lo sumo una cantidad uniformemente acotada de valores de salto en los puntos del conjunto de salto.