Constant Mean Curvature Annuli with free Boundary

• Autores: Alberto Cerezo Cid
• Directores de la Tesis: Isabel Fernández Delgado (dir. tes.) , Pablo Mira Carrillo (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 224
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen
  • español

    En esta tesis se estudia la existencia de superficies de curvatura media constante no rotacionales, difeomorfas a anillos, que tienen borde libre en una bola de un espacio tridimensional de curvatura constante. Estas superficies aparecen de forma natural en el problema de la partición, consistente en encontrar puntos críticos del funcional área en la familia de superficies que dividen la bola en dos piezas de volúmenes dados. En este contexto, la condición de borde libre se refiere a que la superficie y la bola se intersecan ortogonalmente a lo largo de su frontera.

    Las construcciones realizadas se basan en el estudio del conjunto de superficies de curvatura media constante foliadas por líneas de curvatura esféricas. Esto es, cada curva de la foliación pertenece a una superficie totalmente umbílica del espacio ambiente, y ambas superficies se intersecan con ángulo constante a lo largo de la curva. En el Capítulo 2 presentamos un estudio general de estas superficies.

    En el Capítulo 3 construimos anillos no rotacionales de curvatura media constante con borde libre en la bola unidad del espacio euclídeo tridimensional. Además, estos ejemplos son embebidos, es decir, no tienen autointersecciones. La existencia de estos anillos resuelve un problema abierto planteado por Henry C. Wente en 1995.

    En el Capítulo 4 extendemos este resultado al caso general de anillos con curvatura media constante y borde libre en bolas geodésicas de los espacios esférico e hiperbólico tridimensional. En este caso, los anillos obtenidos son embebidos bajo una restricción sobre la curvatura media. En particular, para el caso de superficies mínimas en la 3-esfera, construimos anillos de borde libre con autointersecciones.

    En el Capítulo 5 construimos anillos mínimos de borde libre en bolas geodésicas del espacio hiperbólico. En este caso, los ejemplos obtenidos no son embebidos.

    En el Capítulo 6 estudiamos superficies capilares en la bola unidad del espacio euclídeo. La hipótesis de capilaridad significa que el ángulo de intersección entre la superficie y el borde de la bola es constante, pero no necesariamente ortogonal. En este caso, construimos familias de anillos mínimos no rotacionales y embebidos que presentan un patróhttps://hdl.handle.net/11441/182059n de tipo Delaunay, interpolando entre un trozo de catenoide y una cadena de discos verticales. Finalmente, al estudiar las imágenes de estos anillos por la aplicación de Gauss, damos contraejemplos a una conjetura de 2005 de Souam sobre la simetría radial de las soluciones a un problema tipo Schiffer sobredeterminado en la esfera 2-dimensional.

  • English

    In this thesis we investigate the existence of non-rotational compact surfaces of con-stant mean curvature, diffeomorphic to an annulus, that have free boundary in a ball of a 3-dimensional space of constant curvature. Such surfaces appear naturally when one considers the classical partitioning problem of finding critical points of the area func-tional among surfaces that divide the ball into two pieces of prescribed volumes. The free boundary condition means, in this context, that the surface and the ball intersect orthogonally along the boundary.

    Our constructions are based on the ansatz of studying surfaces of constant mean curvature that are foliated by spherical curvature lines. This means that each curve of the foliation lies in a totally umbilical surface of the ambient manifold, and both surfaces meet at a constant angle along the curve. A general study of such surfaces is presented in Chapter 2.

    In Chapter 3 we construct non-rotational free boundary constant mean curvature annuli in the unit ball of Euclidean 3-space that are embedded, i.e., they do not self-intersect. This solves in the negative a 1995 open problem by Wente.

    In Chapter 4 we extend this theorem to free boundary constant mean curvature annuli in geodesic balls of the 3-dimensional sphere and the 3-dimensional hyperbolic space. This time, the embeddedness property of the examples is only true for some values of the mean curvature. For other values, like the case of minimal surfaces in the 3-sphere, we construct free boundary annuli with self intersections.

    In Chapter 5 we use a deformation procedure to obtain free boundary minimal annuli in geodesic balls of the hyperbolic space. All of them are non-embedded.

    In Chapter 6 we study capillary minimal surfaces, where the capillarity assumption means here that the intersection angle with the ball is constant along the boundary, but not necessarily orthogonal. In that situation, we find families of non-rotational em-bedded capillary minimal annuli in the unit ball that present a Delaunay-type pattern, interpolating between a piece of a catenoid and a chain of vertical flat disks. Finally, by studying the images of these annuli via the Gauss map, we give a counterexample to a 2005 conjecture by Souam regarding the radial symmetry of solutions to an overde-termined Schiffer-type problem in the 2-dimensional sphere.