Problems in elliptic and parabolic PDEs coming from probability, geometry and game theory

• Autores: Irene Gonzálvez Martínez
• Directores de la Tesis: Fernando Quirós Gracián (dir. tes.) , Fernando Soria de Diego (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 266
• Tribunal Calificador de la Tesis: Matteo Bonforte (presid.) , Félix del Teso Méndez (secret.) , Serena Dipierro (voc.) , Enrico Valdinoci (voc.) , Begoña Barrios Barrera (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • La presente tesis doctoral consta de una introducción seguida de cuatro capítulos principales, en los que se estudian las conexiones entre las Ecuaciones en Derivadas Parciales con la Probabilidad, la Geometría y la Teoría de Juegos dando lugar a contribuciones significativas en estas áreas, las cuales se recopilan en cinco artículos de investigación.

    En primer lugar, en el Capítulo 2 desarrollamos una teoría de tipo Widder para ecuaciones del calor no locales asociadas a ciertos operadores de Lévy. Demostramos la unicidad de soluciones clásicas y muy débiles no negativas con una traza inicial dada, la existencia de una traza inicial perteneciente a una clase admisible y la existencia de una solución, expresada mediante una fórmula de representación, para cualquier traza inicial admisible. Estos resultados se establecen inicialmente para operadores de Lévy puramente no locales definidos a través de núcleos de Lévy positivos y simétricos, comparables con funciones radiales de crecimiento polinómico mixto, y posteriormente se extienden a operadores más generales, incluyendo operadores anisotrópicos y operadores que combinan una parte local con una no local.

    En segundo lugar, en el Capítulo 3, estudiamos el problema de Cauchy en el espacio hiperbólico para la ecuación del calor con un término de reacción tipo Fisher-KPP. Analizamos la dicotomía entre propagación y extinción, demostrando nuevos resultados que incluyen el caso crítico. En el caso de propagación, demostramos que si el dato inicial posee un cierto tipo de invariancia, la solución converge asintóticamente a una onda viajera de velocidad mínima en un sistema de referencia móvil. La elección de este sistema de referencia depende de la invariancia del dato inicial, la cual, a su vez, está estrechamente relacionada con los tres tipos de isometrías en el espacio hiperbólico. Además, demostramos que los términos dependientes del tiempo en el sistema de referencia en movimiento están influenciados por el desplazamiento desde el infinito del espacio hiperbólico.

    Después, en el Capítulo 4, buscamos la envolvente convexa de un conjunto mediante la evolución por curvatura mínima de una hipersuperficie que la contiene. Para determinar la envolvente convexa, analizamos el comportamiento en tiempos grandes de las soluciones a un problema de obstáculo en la formulación de conjunto de nivel del flujo geométrico dictado por el mínimo de las curvaturas principales. Demostramos que el superconjunto de nivel donde la solución de este problema de obstáculo es positiva converge, cuando el tiempo tiende a infinito, hacia la envolvente convexa del obstáculo. Nuestro enfoque se basa en una aproximación de tipo teórico de juegos para este flujo geométrico.

    Finalmente, en el Capítulo 5, estudiamos un problema elíptico. Analizamos iteraciones del problema del obstáculo para operadores diferenciales en un dominio y para operadores definidos mediante fórmulas de valor medio en un árbol regular. Resolvemos de manera iterativa el problema del obstáculo desde arriba o desde abajo y demostramos que el par de funciones que se obtiene en el límite es una solución del problema de las dos membranas para los dos operadores considerados.

    En conclusión, esta tesis contribuye a una comprensión más amplia de las Ecuaciones en Derivadas Parciales, aportando resultados matemáticos profundos sobre la ecuación del calor para operadores de Lévy generales, ecuaciones de reacción-difusión en el espacio hiperbólico, juegos teóricos para estudiar el flujo por curvatura mínima y métodos iterativos para el problema de las dos membranas.