The Combinatorics of Involutive Bases: Theory, algorithms and applications
- Autores: Rodrigo Iglesias González
- Directores de la Tesis: Eduardo Sáenz de Cabezón Irigaray (dir. tes.)
, Werner M. Seiler (dir. tes.) - Lectura: En la Universidad de La Rioja ( España ) en 2025
- Idioma: español
- Número de páginas: 320
- Títulos paralelos:
- Combinatoria de las Bases Involutivas: Teoría, algoritmos y aplicaciones
- Tribunal Calificador de la Tesis: Philippe Thiery Giménez Martín (presid.) , Ana Romero Ibáñez (secret.) , Fatemeh Mohammadi (voc.)
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- Resumen
- español
En esta tesis, realizamos un estudio en profundidad de los ideales monomiales y otras estructuras relacionadas en álgebra conmutativa. Nuestra principal herramienta para explorar las conexiones entre estos objetos algebraicos y la combinatoria son las bases involutivas, junto con otros tipos de bases de Gröbner que exhiben propiedades combinatorias adicionales. En particular, las propiedades combinatorias de dichas bases nos permiten obtener aplicaciones en áreas como la fiabilidad de sistemas, la teoría de invariantes topológicos y algebraicos, entre otras.
Los ideales monomiales han sido ampliamente estudiados desde diversas perspectivas. Un aspecto particularmente importante de estos objetos es su papel en facilitar el intercambio de información entre el álgebra conmutativa y la combinatoria. Significativamente, los ideales monomiales---y, en algunos casos, ciertos ideales polinomiales---pueden asociarse con grafos o complejos celulares, creando un "puente" entre sus propiedades algebraicas y combinatorias. En esta tesis, utilizamos bases involutivas para establecer una conexión entre ideales polinomiales y grafos o complejos celulares, construyendo así dichos puentes.
Otro enfoque para el estudio de ideales monomiales es a través del concepto algebraico de las álgebras de Rees. La relación entre los ideales monomiales y las álgebras de Rees es un tema importante en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica. El álgebra de Rees de un ideal monomial es un álgebra con una estructura combinatoria rica que codifica información sobre las potencias del ideal y las sizigias de cada una de sus potencias. De hecho, obtener una descripción explícita de estos objetos suele ser esquivo y difícil de determinar. Como resultado, el campo de la investigación se centra típicamente en clases de ideales con mucha estructura algebraica, particularmente aquellos para los cuales ciertas resoluciones libres son bien conocidas. Estas características hacen que las álgebras de Rees sean adecuadas para su análisis dentro del marco combinatorio de las bases involutivas. En este trabajo, exploramos estos objetos desde una nueva perspectiva, extendiendo trabajos previos y abriendo la puerta a avances futuros en el área.
Finalmente, exploramos aplicaciones de los ideales monomiales y las bases involutivas en el campo de la fiabilidad de sistemas. Para mejorar la eficiencia de nuestros métodos, realizamos un análisis exhaustivo del rendimiento de diversos algoritmos para el cálculo de bases involutivas y tipo-involutivas de ideales monomiales. Comparamos algoritmos existentes con los que hemos desarrollado, utilizando para ello el sistema de álgebra computacional CoCoALib en C++.
- English
In this thesis, we conduct an in-depth study of monomial ideals and other related structures in commutative algebra. Our primary tool for exploring the connections between these algebraic objects and combinatorics is the use of involutive bases, along with other types of Gröbner bases that exhibit additional combinatorial properties. In particular, the nice combinatorial properties that come along with these bases enable applications in other areas, such as system reliability, topological and algebraic invariant theory, among others.
Furthermore, monomial ideals have been extensively studied by numerous authors from various perspectives. One particularly significant aspect of these ideals is their role in facilitating the exchange of information between commutative algebra and combinatorics. Notably, monomial ideals---and, in some cases, certain polynomial ideals---can be associated with graphs or cellular complexes, thereby creating a "bridge" between their algebraic and combinatorial properties. In this thesis, we utilize involutive bases as a tool to establish these associations between polynomial ideals and graphs or cellular complexes, thereby constructing such bridges.
Another approach to monomial ideals is through the algebraic concept of Rees algebras. The relationship between the two is an important topic in commutative algebra and algebraic geometry. The Rees algebra of a monomial ideal is an algebra with a rich combinatorial structure that encodes information about the powers of the monomial ideal as well as the syzygies of each of its powers. In fact, obtaining an explicit description of these objects is often elusive and very difficult to determine. As a result, research typically focuses on classes of ideals with a rich algebraic structure, particularly those with a well-characterized free resolution. The mentioned features make Rees algebras a natural fit for analysis using the combinatorial framework of involutive bases. In this work, we explore these objects from a new perspective, extending previous research in the area and opening the door for future advancements.
Lastly, we explore some applicable results of monomial ideals and involutive bases in the field of system reliability. To improve the efficiency of our methods, we conduct a thorough performance analysis of several algorithms for computing involutive and involutive-like bases of monomial ideals. We establish a comparison between existing implemented algorithms and those we have developed, utilizing the computer algebra system CoCoALib in C++
- español
