Spaces of almost periodic functions: variants and extensions of the notion of almost periodicity

• Autores: Hadjer Ounis
• Directores de la Tesis: Juan Matías Sepulcre Martínez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat d'Alacant / Universidad de Alicante ( España ) en 2025
• Idioma: español
• Número de páginas: 248
• Tribunal Calificador de la Tesis: Antonio Linero Bas (presid.) , Lorena Segura Abad (secret.) , Alan Jhonatan Chávez Obregón (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: RUA
• Resumen

  • Varios investigadores han introducido en el panorama científico el estudio del concepto de c-periodicidad, con c un número complejo distinto de cero. Se dice que una función continua f definida en el conjunto R de los número reales y con imagen en un espacio de Banach complejo es c-periódica si existe ω>0 tal que f(x+ω)=cf(x) para todo x en R. Esta clase extiende las nociones más conocidas de anti-periodicidad (para c=-1) y periodicidad de Bloch (con c dependiendo de ω en la forma c=e^{ikω} y k en R), que constituyen variantes de la periodicidad usual con relevancia práctica en la ingeniería o en la física de la materia condensada. En este contexto, como una generalización de las funciones puramente periódicas definidas en el conjunto de los números reales, el matemático danés Harald Bohr introdujo el concepto de casi periodicidad durante los años 1920, que resulta ser una herramienta potente para estudiar una amplia clase de series trigonométricas o sumas exponenciales. En concreto, se dice que una función continua f definida en R y con imagen en un espacio de Banach complejo (X,||·||) es casi periódica (en el sentido de Bohr) si para cada eps>0 existe un número l>0 (dependiente de eps) tal que cada intervalo abierto de longitud l contiene al menos un número tau satisfaciendo ||f(x+tau)-f(x)||<= eps para todo x en R (también se dice que el conjunto de valores tau que satisfacen esta propiedad es relativamente denso en la recta real). En relación con la noción de casi periodicidad, M. Khalladi, M. Kostic, M. Pinto, A. Rahmani y D. Velinov han considerado tambén recientemente la siguiente generalización denominada c-casi periodicidad, donde c es un número complejo no nulo: se dice que una función continua f definida en R y con imagen en un espacio de Banach complejo (X,||·||) es c-casi periódica si para cada eps>0 existe un número l>0 (dependiente de eps) tal que cada intervalo abierto de longitud l contiene al menos un número real tau que satisface ||f(x+tau)-c·f(x)||<=eps para todo x en R. El primer objetivo de esta tesis es extender y analizar los conceptos de c-periodicidad y c-casi periodicidad al caso de funciones definidas en bandas verticales del plano complejo. Este estudio conlleva analizar las principales propiedades de estas clases de funciones (y también revisitar el caso de funciones definidas en R), lo que incluye el estudio de la acotación, continuidad uniforme y el comportamiento de productos escalares, conjugados complejos, partes reales e imaginarias y la inversa multiplicativa de funciones c-periódicas y c-casi periódicas. En particular, demostramos que si el módulo de c no es igual a 1, entonces la única función que es c-casi periódica en la recta real o en una banda vertical dada es la función nula. También demostramos la compacidad relativa en subbandas (o en R) de la familia de traslaciones verticales de una función c-casi periódica definida en una banda vertical U (o en R), lo que lleva a establecer el resultado de que cada función c-casi periódica también es casi periódica y, de hecho, c^m-casi periódica para cada número entero m. En el curso del tiempo, el trabajo de Bohr fue estudiado por varios reconocidos matemáticos como Amerio, Besicovitch, Bochner, Corduneanu, Favard, Fink, Levitan, Lusternik, Pontryagin, Prouse, Stepanov, Von Neumann o Weyl, quienes también contribuyeron a desarrollar y expandir esta teoría, e introdujeron generalizaciones de la noción de Bohr. En este sentido, el segundo objetivo de la tesis es considerar los espacios de funciones c-casi periódicas en el sentido de Stepanov y Weyl tanto para el caso de funciones definidas en R y con imágenes en un espacio de Banach como en el caso de funciones complejas definidas en bandas verticales del plano complejo. En la tesis se estudian las principales propiedades de estas nuevas clases de funciones como generalizaciones naturales del espacio de funciones c-casi periódicas. El siguiente objetivo de la tesis se enfoca en una amplia variedad de nociones y conceptos relacionados con la casi periodicidad. En particular, introducimos y analizamos las principales propiedades de las funciones complejas semi-c-periódicas, c-uniformemente recurrentes y casi automorfas definidas en bandas verticales del plano complejo. Además de establecer la conexión con la c-casi periodicidad e introducir una versión asintótica de estas nuevas clases de funciones, resolvemos un problema abierto que fue planteado en 2020 por Khalladi, Kostic, Pinto, Rahmani y Velinov para el caso de funciones semi-c-periódicas definidas en R. Finalmente, el último objetivo de la tesis es el estudio de las principales propiedades, y sus conexones con las nociones introducidas con anterioridad, de las funciones S-asintóticamente (ω,c)-periódicas, cuasi-asintóticamente c-casi periódicas y sus respectivas generalizaciones en el sentido de Stepanov.