Resumen de Filtered Products of Injective Objects in Grothendieck Categories

Maroua Mbarki

• español

  El objetivo fundamental de esta tesis es estudiar la transferibilidad de la inyectividad de una familia de objetos a sus distintos productos filtrados (cada filtro utilizado, por supuesto, proporciona un producto filtrado diferente).

  En el marco de este objetivo fundamental se consideran dos problemas específicos, ambos estudiados en ambientes distintos: uno es el de la transferencia de la inyectividad de cualquier familia de objetos inyectivos. Éste es el problema más general, y se estudia en el ámbito de categorías de Grothendieck. Para abordarlo se ha tenido que hacer un desarrollo completo de los productos filtrados en categorías, pues hasta el momento su definición no iba más allá del ámbito de las categorías de módulos. Por tanto, antes de comenzar el tratamiento del problema que acabamos de presentar, no sólo era necesario sentar las bases del concepto, sino que había que demostrar tanto su existencia en cualquier categoría de Grothendieck (y para cualquier filtro), como su unicidad.

  El segundo problema es el de la transferencia de la inyectividad relativa de un objeto determinado, a cualquier producto filtrado de copias de este objeto. Este problema se trata en el ámbito más concreto de categorías de módulos.

  Hemos sido capaces de solucionar los dos problemas planteados, caracterizando las categorías de Grothendieck para las que los productos filtrados de inyectivos son inyectivos, y los anillos sobre los cuales los productos filtrados de copias de un módulo inyectivo relativo son inyectivos también. Los resultados encontrados, por supuesto, extienden las condiciones existentes que resuelven el mismo tipo de problemas en el caso de los $\aleph$-productos y de las sumas directas.

• English

  The fundamental objective of this thesis is to study the transferability of the injectivity of a family of objects to their different filtered products (each filter used, of course, provides a different filtered product).

  Within the framework of this fundamental objective, two specific problems are considered, both studied in different environments: one is the transfer of injectivity of any family of injective objects. This is the most general problem, and it is studied in the context of Grothendieck categories. To address it, a complete development of filtered products in categories had to be made, as until now, their definition did not go beyond the realm of module categories. Therefore, before starting the treatment of the problem we just presented, it was necessary not only to lay the foundations of the concept but also to demonstrate both their existence in any Grothendieck category (and for any filter) and their uniqueness.

  The second problem is the transfer of injectivity of a specific object to any filtered product of copies of this object. This problem is dealt with in the more concrete framework of module categories.

  We have been able to solve the two problems posed, characterizing the Grothendieck categories for which the filtered products of injectives are injective, and the rings over which the filtered products of copies of an injective module are injective too. The results found, of course, extend the existing conditions that solve the same type of problems in the case of ℵ-products and direct sums.