Minimización de energía y aplicaciones que preservan la medida en esferas, espacios proyectivos y grassmannianas

• Autores: Pedro Ramón López Gómez
• Directores de la Tesis: Ujué Etayo Rodríguez (dir. tes.) , Carlos Beltrán Álvarez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Cantabria ( España ) en 2025
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • Energy minimization and measure-preserving mappings on spheres, projective spaces, and grassmannians
• Tribunal Calificador de la Tesis: Giacomo Gigante (presid.) , Rafael Granero Belinchón (secret.) , Ryan Matzke (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en:  TESEO  UCrea 
• Resumen
  • español

    En esta tesis, exploramos el problema de equidistribuir puntos en esferas, espacios proyectivos y grassmannianas principalmente desde el punto de vista de la minimización de la energía. En particular, buena parte de este trabajo se centra en el estudio del comportamiento asintótico de las energías de Riesz y logarítmica en la esfera usual bidimensional, el plano proyectivo real y la grassmanniana Gr(2,4) de subespacios bidimensionales del espacio euclídeo real de dimensión 4 cuando el número de puntos tiende a infinito. Asimismo, abordamos también la construcción de aplicaciones que preservan la medida desde el cubo unidad a nuestros espacios de trabajo, lo que, entre otras cosas, proporciona una forma alternativa de generar colecciones de puntos bien distribuidos. En particular, las contribuciones más destacadas de esta tesis doctoral son las siguientes:

    En primer lugar, mejoramos las cotas asintóticas conocidas para la energía logarítmica en la esfera y el plano proyectivo real. Para ello, presentamos una generalización del conjunto Diamante introducido originalmente por Beltrán y Etayo (2020), el cual representa el actual estado de la cuestión en cuanto a colecciones constructivas de puntos, y mostramos cómo extender estas y otras ideas al plano proyectivo real, obteniendo así las cotas más precisas a día de hoy para la energía logarítmica en este espacio.

    Asimismo, realizamos un estudio sistemático de las energías de Riesz y logarítmica en la grassmanniana Gr(2,4), un espacio que no ha sido explorado desde ese punto de vista. En esta tesis, abordamos este problema en sus versiones discreta y continua. En particular, demostramos que la medida uniforme en este espacio es la única que minimiza las energías continuas y establecemos cotas asintóticas tanto superiores como inferiores para las energías discretas mínimas.

    Finalmente, construimos aplicaciones que preservan la medida, con expresiones explícitas, desde el cubo unidad d-dimensional a la bola unidad d-dimensional y a esferas y espacios proyectivos de cualquier dimensión. En algunos de estos casos somos capaces, de hecho, de dar expresiones cerradas para estas aplicaciones. Además, presentamos también un método para generar aplicaciones que preservan la medida desde el cubo unidad d-dimensional a fibrados bajo ciertas condiciones.

  • English

    In this doctoral thesis, we explore the classic problem of equidistributing points on spheres, projective spaces, and Grassmannians from two perspectives. On the one hand, we study the Riesz and logarithmic energies of finite collections of points on these spaces. In this regard, in addition to a generalization of an existing construction on the two-dimensional sphere with near-optimal logarithmic energy, we obtain very sharp bounds for the logarithmic energy on the real projective plane. Likewise, we conduct a comprehensive study of the problem of minimizing these energies in the case of the Grassmannian Gr 2,4 of planes in R4. On the other hand, we explicitly construct measure-preserving mappings from the unit cube to spheres and projective spaces of any dimension, among other spaces. These mappings provide an alternative method for generating well-distributed collections of points on these manifolds.