Resumen de The inhomogeneous Muskat problem
En esta tesis estudiamos la dinamica de una interfase separando dos fluidos incompresibles con diferentes densidades en un medio poroso heterogeneo.
Primero consideramos una banda porosa con anchura igual a 2l, i.e. el dominio es S = R × (¿l, l). La permeabilidad del medio poroso se anula fuera de estas paredes y es identicamente uno dentro, es decir, la region S es homogenea y sus fronteras son impermeables. Este caso se conoce como el problema de Muskat confinado y homogeneo. En el Cap¿tulo 3 obtenemos la ecuacion expl¿cita para la interfase en este modelo y otras propiedades, por ejemplo, estudiamos la convergencia del modelo confinado al modelo no acotado cuando la profundidad tiende a infinito. Ademas, en la primera parte de la tesis, para este problema, probamos:
¿ Existencia local en espacios de Sobolev cuando la condicion de Rayleigh-Taylor se satisface, es decir, cuando el fluido mas denso esta encima del menos denso (ver Cap¿tulo 4).
¿ Existencia de solucion en cierto espacio de funciones anal¿ticas usando un Teorema de Cauchy-Kowalevski. Como consecuencia obtenemos que la ecuacion para la interfase tiene solucion local unica incluso si no se satisface la condici on de Rayleigh-Taylor (ver Cap¿tulo 5).
Uno de los objetivos principales de esta investigacion es estudiar las diferencias entre el caso con profundidad infinita y el caso de un medio poroso acotado. Para hacer esto, en la segunda parte de esta tesis, estudiamos varias propiedades cualitativas de las soluciones (ver Cap¿tulo 7). En particular probamos ¿ Si la condicion de Rayleigh-Taylor se satisface entonces la solucion se vuelve anal¿tica para todo tiempo positivo (ver Cap¿tulo 6).
¿ En el caso inestable, el problema esta mal propuesto en espacios de Sobolev (ver Cap¿tulo 6). Un aspecto importante de este Teorema es que no requiere de una familia de soluciones con existencia global para ser probado (comparar con [23] y [54]).
¿ Una ley de balance de energ¿a para f (t) en L2 (R) , donde (x, f (x, t)) es la interfase.
¿ Un principio del maximo para la amplitud.
¿ Una estimacion del decaimiento para la amplitud f (t) en L¿ (R) en un medio acotado. Este decaimiento es mucho ms lento que en el caso en el que la profundidad es infinita. Esto es as¿ porque la condicion de frontera natural para la velocidad, v · n = 0, implica que, si la interfase esta cerca de la pared, la evolucion del maximo es muy lenta. Como consecuencia obtenemos que la unica solucion estacionaria es la identicamente nula. Este decaimiento se estudia numericamente en la Seccion 13.2.
¿ Un principio del maximo para para la pendiente, ¿x f L¿ (R) , si el dato inicial, f0 , pertenece a una determinada region del plano ( f0 L¿ (R) , ¿x f0 L¿ (R) ). Aqu¿ el efecto de las paredes es muy importante y las hipotesis que debemos hacer sobre el dato inicial son mucho mas restrictivas que en el caso de aguas profundas, es decir, el caso con profundidad infinita. As¿ inuestro resultado nos da condiciones sobre el tamano de f0 L¿ (R) y ¿x f0 L¿ (R) comparados con la profundidad. Es decir, si nuestro dato inicial esta en lo que se llama regimen de onda larga (amplitud pequena y longitud de onda larga), entonces no hay giro, i.e. la pendiente no crece indefinidamente. Observamos que si tomamos el l¿mite l ¿ ¿ en estas condiciones recuperamos el resultado para aguas profundas contenido en [24].
¿ Una cota uniforme para la pendiente, ¿x f, para datos iniciales pertenecientes a una segunda region del plano ( f0 en L¿ (R) , ¿x f0 en L¿ (R), ).
¿ En el Cap¿tulo 8 mostramos, sin ninguna hipotesis soble la condicion de Rayleigh-Taylor, la existencia de solucion para datos iniciales que son curvas anal¿ticas arbitrarias.
¿ En el Cap¿tulo 8 probamos existencia de singularidades. Dichas singularidades son explosiones de la pendiente maxima, ¿x f (t) L¿ (R) . F¿sicamente estas singularidades significan que algunas curvas ¿giran¿. Es mas, nosotros comparamos este resultado con su analogo para el caso de aguas profundas (ver [10]). Para ello primero obtenemos evidencia numerica (Seccion 13.2 en el Cap¿tulo 13) y despues demostramos con una prueba asistida por ordenador (ver Seccion 13.4 del mismo cap¿tulo) que existen datos iniciales tales que, en tiempo finito, la solucion de (2.9) pasa al regimen estable al inestable solo cuando la profundidad es finita. Si la profundidad es infinita las mismas curvas se vuelven grafos (ver Evidencia Numerica 13.1 y Teorema 13.1). Este resultado tambien se aplica al problema de las water waves (ver Corolario 13.1).
¿ Para datos iniciales Lipschitz satisfaciendo ciertas hipotesis que relacionan la pendiente, la amplitud y la profundidad, existe una solucion Lipschitz global en tiempo (ver Cap¿tulo 9).
Tras este estudio, en la tercera parte de la tesis, presentamos el problema de Muskat inhomogeneo en diferentes dominios: S = R2 , T×R (profundidad infinita) y R×(¿¿/2, ¿/2) (profundidad finita). Dentro de estos dominios tenemos una l¿nea recta (que es conocida y fija) h(¿) = {(¿, ¿h2 ) : ¿ ¿R}, que separa dos regiones con distintos valores de la permeabilidad (ver Figura 2.4). Para estos problemas, obtenemos expl¿citamente las ecuaciones para la interfase (ver Cap¿tulo 10) y mostramos:
¿ La existencia local de solucion en espacios de Sobolev (ver Cap¿tulo 11).
¿ Una ley de balance de energ¿a para la norma L2 dependiendo de las permeabilidades. Esta ley generaliza el balance de energ¿a obtenido anteriormente para el caso homogeneo y confinado (ver Cap¿tulo 11).
¿ En el Cap¿tulo 12 mostramos la existencia singularidades en tiempo finito para las interfases cuando los parametros f¿sicos estan en una cierta region.
En la ultima parte de la tesis, el Cap¿tulo 13, mostramos unas simulaciones y obtenemos evidencia numerica que muestra que realmente las ecuaciones de la interfase presentan singularidades para cualquier valor de los parametros. Finalmente, dicha evidencia numerica se demuestra rigurosamente con una prueba asistida por ordenador en la Seccion 13.4 (ver Teorema 13.2).
