Resumen de Estudio de métodos tipo secante: convergencia, estabilidad y accesibilidad

Alejandro Moysi Amieva

• español

  El presente trabajo de investigación se enmarca dentro del estudio y desarrollo de métodos numéricos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales. En particular, se centra en el análisis y optimización de los métodos tipo secante, con el propósito de mejorar su eficiencia y estabilidad en comparación con las técnicas tradicionales. La motivación de este estudio radica en la importancia que tiene la resolución de ecuaciones no lineales en múltiples campos científicos y de la ingeniería, donde frecuentemente no es posible obtener soluciones exactas y es necesario recurrir a algoritmos iterativos.

  En este contexto, la tesis desarrolla una nueva familia de métodos iterativos basada en la reformulación del método de la secante mediante la introducción de parámetros de control y diferencias divididas simétricas. Se demuestra que estas modificaciones permiten mejorar la velocidad de convergencia sin aumentar el costo computacional. A través de un análisis teórico riguroso, se estudia la convergencia local de los métodos propuestos, estableciendo condiciones bajo las cuales el esquema iterativo alcanza un orden de convergencia cuadrático. Además, se explora el comportamiento dinámico de estos métodos mediante herramientas de análisis complejas, identificando la existencia de cuencas de atracción y zonas de inestabilidad.

  El desarrollo de estos métodos ha requerido la implementación de diversas simulaciones numéricas en Python, utilizando bibliotecas especializadas para la resolución de ecuaciones no lineales. A través de estas simulaciones, se ha comparado el rendimiento de los métodos propuestos frente a los esquemas clásicos, verificando que las nuevas formulaciones presentan una mayor robustez y accesibilidad. Se han aplicado estos algoritmos en la resolución de ecuaciones integrales y problemas en los que la función objetivo no es diferenciable, evidenciando su utilidad en contextos más amplios.

  Desde una perspectiva teórica, el trabajo también aborda la relación entre los métodos tipo secante y los esquemas iterativos basados en operadores en espacios de Banach. Se estudia cómo la descomposición del operador en términos de una parte diferenciable y otra continua no diferenciable permite mejorar la aplicabilidad de estos algoritmos en problemas donde los métodos clásicos presentan limitaciones. Este enfoque ha permitido ampliar la aplicabilidad de los métodos tipo secante a ecuaciones más generales, manteniendo una estructura computacional sencilla y eficiente.

  A lo largo del desarrollo de la tesis, se ha prestado especial atención al análisis gráfico del comportamiento de los métodos iterativos, explorando sus propiedades dinámicas en el plano complejo. Se han utilizado representaciones visuales para comprender la distribución de las cuencas de atracción de las raíces y los efectos de los parámetros introducidos en la estabilidad de las iteraciones. Estas representaciones han sido clave para caracterizar el impacto de las mejoras propuestas y han permitido establecer una comparación visual con otros métodos iterativos.

  Los resultados obtenidos evidencian que la optimización de los métodos tipo secante mediante ajustes paramétricos y técnicas de diferencias divididas permite obtener esquemas más eficientes, con mayores regiones de convergencia y mejor comportamiento dinámico. La implementación de estos métodos en entornos computacionales confirma su utilidad práctica y su potencial para ser utilizados en problemas matemáticos y de ingeniería en los que la resolución de ecuaciones no lineales es un desafío recurrente.

• English

  This research is part of the study and development of iterative numerical methods for solving nonlinear equations. In particular, it focuses on the analysis and optimization of secant-type methods, with the aim of improving their efficiency and stability compared to traditional techniques. The motivation for this study lies in the importance of solving nonlinear equations in multiple scientific and engineering fields, where exact solutions are often not possible and iterative algorithms must be used.

  In this context, this thesis develops a new family of iterative methods based on a reformulation of the secant method by introducing control parameters and symmetric divided differences. It is demonstrated that these modifications improve the convergence speed without increasing the computational cost. Through a rigorous theoretical analysis, the local convergence of the proposed methods is studied, establishing conditions under which the iterative scheme reaches a quadratic order of convergence. In addition, the dynamic behavior of these methods is explored using complex analysis tools, identifying the existence of basins of attraction and zones of instability.

  The development of these methods required the implementation of various numerical simulations in Python, using specialized libraries for solving nonlinear equations. Through these simulations, the performance of the proposed methods was compared with classical schemes, verifying that the new formulations present greater robustness and accessibility. These algorithms have been applied to solve integral equations and problems in which the objective function is not differentiable, demonstrating their usefulness in broader contexts.

  From a theoretical perspective, the work also addresses the relationship between secant-type methods and iterative schemes based on operators in Banach spaces. It studies how decomposing the operator into a differentiable part and a continuous, non-differentiable part improves the applicability of these algorithms to problems where classical methods present limitations. This approach has made it possible to extend the applicability of secant-type methods to more general equations while maintaining a simple and efficient computational structure.

  Throughout the development of this thesis, special attention has been paid to the graphical analysis of the behavior of iterative methods, exploring their dynamic properties in the complex plane. Visual representations have been used to understand the distribution of the basins of attraction of the roots and the effects of the introduced parameters on the stability of the iterations. These representations have been key to characterizing the impact of the proposed improvements and have allowed for a visual comparison with other iterative methods.

  The results obtained show that the optimization of secant-type methods using parametric adjustments and divided-difference techniques allows for more efficient schemes, with larger regions of convergence and improved dynamic behavior. The implementation of these methods in computational environments confirms their practical utility and their potential for use in mathematical and engineering problems where solving nonlinear equations is a recurring challenge.