Resumen de Estudio de la dinámica del método de Newton amortiguado
- español
La Tesis Doctoral defendida se sitúa en la frontera de dos líneas de investigación de gran relevancia matemática, como son los sistemas dinámicos y la resolución numérica de ecuaciones no lineales mediante procesos iterativos. En concreto, hemos realizado un estudio del conocido como método de Newton amortiguado, que es una modificación del método de Newton clásico. Dicho método consiste en la generación de una sucesión dependiente de un parámetro amortiguador que, en condiciones adecuadas, converge a la solución buscada. La tesis pone en evidencia la importancia del parámetro amortiguador, no solo en la convergencia del método sino también en sus propiedades dinámicas.
La tesis presenta tres enfoques diferenciados. El primero de ellos tiene como objetivo profundizar en el análisis de la dinámica real del método, utilizando entre otras técnicas diagramas de Feigenbaum o exponentes de Lyapunov, que nos permiten encontrar comportamientos extraños (convergencia hacia ciclos, comportamiento caótico, etc.) para diferentes valores reales del parámetro amortiguador.
En el segundo enfoque, dedicado a la dinámica compleja del método, se enfatiza en el conocimiento de las cuencas de atracción de las soluciones, en muchos casos, con una intrincada estructura fractal. Nos apoyaremos para ello en el carácter de los puntos fijos, la aparición de ciclos atractores y en los planos de parámetros asociados a los puntos críticos libres.
Finalmente, se hace un estudio del método para operadores definidos entre espacios de Banach, obteniendo resultados sobre convergencia local y semilocal. Esta generalización permite abordar problemas tales como sistemas de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales o integrales, problemas de optimización, etc.
- English
The Doctoral Thesis defended lies on the border of two lines of mathematical research of great relevance, such as dynamical systems and the numerical solution of nonlinear equations by iterative processes. Specifically, we studied the iterative method known as damped Newton method, which is a modification of the classical Newton method. This method generates a sequence depending on a damping parameter, which in suitable conditions, converges to the desired solution. The thesis shows the importance of the damping parameter, not only in the convergence of the method but also in their dynamic properties.
The thesis presents three different approaches. The first one is focused in the analysis of the real dynamics of the method, using among other techniques Feigenbaum diagrams and Lyapunov exponents which allow us to find strange behaviors (convergence to cycles, chaotical behaviour, etc.) for different values of the damping parameter.
In the second approach, dedicated to the complex dynamics of the method, the main aim consist on distinguishing the basins of attraction associated to the solutions, which have in many cases an intricate fractal structure. We rely on the character of this fixed point, the attracting cycles and in the parameters planes associated to the iteration of the free critical points.
Finally, we study the method applied to operators defined between Banach spaces, obtaining results on the local and semilocal convergence. This generalization allows us to find the solution of different problems such as systems of nonlinear equations, differential or integral equations, optimization problems, etc.
