Resumen de Procesos de aprendizaje de la demostración por estudiantes de secundaria con alta capacidad matemática en un entorno de geometría dinámica 3-dimensional
El aprendizaje de la demostración matemática mediante el uso de la tecnología ha sido un área de interés en didáctica de las matemáticas durante las dos últimas décadas. En particular, los ambientes de geometría dinámica (AGD), facilitados a través de programas computacionales como GeoGebra, han sido empleados para promover la demostración matemática en distintos niveles escolares. Una estrategia para trabajar esta práctica matemática es a través de los problemas de construcción y demostración. Hasta ahora, la comunidad en didáctica de la geometría ha concentrado sus esfuerzos en la enseñanza y el aprendizaje de la demostración con problemas de este tipo en el dominio de la geometría plana. Esta tesis doctoral amplía ese enfoque para considerar no solo el dominio de la geometría plana, sino también el dominio de la geometría espacial. El trabajo en ambos dominios se sustenta a través de la analogía, que pretende ser un vehículo para la formulación de propiedades geométricas en el dominio tridimensional, tomando como base propiedades de la geometría plana.
El objetivo general de esta investigación es caracterizar el aprendizaje de la demostración por parte de estudiantes con alta capacidad matemática en el dominio de la geometría espacial, cuando resuelven problemas de construcción y demostración con el apoyo del AGD GeoGebra. Para lograr este objetivo, diseñamos una secuencia con quince problemas de construcción y demostración que involucran diferentes relaciones y objetos geométricos para que sean resueltos en el AGD seleccionado. Con respecto a las relaciones geométricas, la secuencia se enfoca en la equidistancia, aunque también aborda la perpendicularidad, el paralelismo y la congruencia de triángulos. En cuanto a los objetos geométricos, la secuencia involucra la circunferencia, la esfera, la mediatriz y el plano mediador. La secuencia diseñada fue implementada con cuatro estudiantes con alta capacidad matemática pertenecientes al sistema educativo español, con edades comprendidas entre los 11 y los 14 años. En sesiones individuales y acompañados por un profesor, cada estudiante resolvía un problema específico en sesiones de no más de 60 minutos. El profesor se involucró en cada sesión bajo la figura de observador participante, apoyando el proceso de elaboración de demostraciones e interviniendo cuando lo consideraba conveniente.
Los resultados de esta investigación responden a dos objetivos específicos, uno relacionado con el análisis del razonamiento analógico de los estudiantes y el otro con el análisis de la interacción entre el estudiante y el profesor. En cuanto al razonamiento analógico, nuestros análisis revelan que los cuatro estudiantes consiguen al final de la secuencia establecer analogías entre el dominio de la geometría plana y de la geometría espacial para elaborar demostraciones de sus construcciones. Identificamos al menos dos factores que propician el establecimiento de analogías en problemas de construcción y demostración. Mientras que algunas de estas analogías surgieron a partir de la similitud entre las definiciones o propiedades de objetos geométricos del plano y del espacio, otras fueron impulsadas por las limitaciones propias de las herramientas disponibles en el AGD en su configuración tridimensional.
Con respecto a la interacción entre estudiante y profesor se consideró el tipo de demostración y el tipo de apoyo. Nuestros análisis muestran que tres de los cuatro estudiantes comenzaron la secuencia utilizando demostraciones de tipo empírico y, al finalizar, fueron capaces de elaborar autónomamente demostraciones de tipo deductivo para resolver los problemas de construcción. En cambio, otro estudiante desde el inicio tuvo la habilidad de elaborar demostraciones de tipo deductivo. La interacción se analizó también considerando el tipo de apoyo proporcionado por el profesor. Este se caracterizó por solicitar a los estudiantes mayor desarrollo o profundidad en las afirmaciones realizadas y los respectivos soportes, así como enfocar la atención de ellos en aspectos de la construcción que podrían ayudar a resolver el problema. Si bien las necesidades de apoyo variaron entre los estudiantes, se observó una tendencia general a requerir más intervención durante la fase intermedia de la secuencia, con una disminución notable en la necesidad de apoyo durante los dos últimos problemas.
