Nonlocal Porous Medium Equations and a PDE approach to Machine Learning

• Autores: Peio Ibarrondo Murguialday
• Directores de la Tesis: Matteo Bonforte (dir. tes.) , Davide Barbieri (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 179
• Títulos paralelos:
  • Ecuaciones de medios porosos no locales y un enfoque de EDPs aplicado al aprendizaje automático
• Tribunal Calificador de la Tesis: Goro Akagi (presid.) , María del Mar González Nogueras (secret.) , Alessio Porretta (voc.) , José Alfredo Cañizo Rincón (voc.) , Luz Roncal Gómez (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Esta tesis se centra en el análisis de ecuaciones de difusión, modelos fundamentales que describen cómo las sustancias o conjuntos se propagan a lo largo del tiempo. Estas ecuaciones juegan un papel crucial en diversos campos, como la física, la biología, las finanzas y la ingeniería, modelando fenómenos como la transferencia de calor, la difusión de partículas, los movimientos de precios de acciones y la dinámica de poblaciones.

    La primera parte de la tesis está dedicada al estudio de la ecuación de difusión rápida con operadores no locales en la variable espacial. Se establece una teoría básica para las soluciones de este modelo, que abarca existencia y unicidad, efectos regularizantes Lp − L∞ y tasas de extinción en tiempo nito. Además, se demuestra un principio de Harnack global, del cual se deduce la regularidad Hölder de las soluciones.

    La segunda parte se centra en las ecuaciones de medios porosos y difusión rápida con derivada temporal no local de tipo Caputo. Esta derivada temporal fraccional introduce un efecto de memoria en el modelo, lo que dificulta el análisis clásico. Demostramos la existencia y unicidad de las soluciones y un nuevo principio de comparación que permite deducir efectos regularizantes Lp − L∞ y una decaimiento temporal óptimo de las soluciones. Una consecuencia significativa de nuestro trabajo es la no extinción de las soluciones para cualquier no linealidad en forma de potencia positiva.

    El capítulo final presenta una aplicación novedosa de las ecuaciones de convección-difusión al descenso de gradiente estocástico (SGD) en aprendizaje automático. La tesis explora cómo el proceso de SGD puede ser modelado por EDPs, ofreciendo un marco matemático para entender la dinámica de aprendizaje en redes neuronales. La principal contribución de esta parte es la identificación de dos fases distintas en el proceso de aprendizaje (los regímenes de convección y de difusión) y el análisis de la convergencia asintótica en problemas no convexos y degenerados