Resumen de Reduction by stages in field theory

Miguel Ángel Berbel López

• español

  Esta tesis aborda la reducción por etapas de sistemas mecánicos y teorías de campos a través del estudio de los espacios fibrados que aparecen al iterar el proceso de reducción asociado a simetrías del sistema con naturaleza notablemente diferenciada.

  El estudio se enmarca en el área de la mecánica geométrica que investiga cómo las técnicas globales y covariantes de la geometría diferencial pueden utilizarse para estudiar una extensa variedad de problemas de la mecánica. Este paradigma general, entre otros, incluye: sólidos rígidos, movimientos planetarios, vehículos rodados o el control de enjambres de cuadricópteros. Por su parte, la teoría de campos es una generalización de la mecánica que permite estudiar sistemas físicos que evolucionan respecto a un espacio multidimensional en vez de hacerlo respecto a un espacio unidimensional, generalmente el tiempo. El rango de aplicación de la teoría de campos es más amplio e incluye la dinámica de fluidos, el electromagnetismo, medios elásticos, relatividad general y cadenas moleculares.

  El objetivo principal de esta tesis es proporcionar un esquema de reducción por etapas en el contexto de la teoría clásica de campos, generalizando así, los resultados previos sobre reducción por etapas en mecánica clásica lagrangiana y hamiltoniana.

  En el contexto de la mecánica lagrangiana, se caracterizan geométricamente los objetos de la categoría de fibrados de Lagrange-Poincaré empleados para la reducción por etapas. Se responde afirmativamente al problema abierto sobre si la reducción puede realizarse en toda la categoría de fibrados de Lagrange-Poincaré. Asimismo, estos resultados se conectan con la reducción por etapas hamiltoniana. Se establece un teorema de Noether para sistemas mecánicos en fibrados de Lagrange-Poincaré. Finalmente, estos resultados se aplican a sólidos rígidos con rotores, un atractivo ejemplo cuya bibliografía era extensa pero incompleta.

  En el contexto de la teoría de campos lagrangiana, se propone una nueva categoría de fibrados para realizar la reducción por etapas. En esta nueva categoría quedan incluidos como casos particulares de objetos los fibrados jet de primer orden, los espacios covariantes de configuración reducidos y los fibrados de Lagrange-Poincaré que aparecen en mecánica. Se obtiene una condición de reconstrucción para cada etapa de reducción y se formula un teorema de Noether. Para ilustrar estos resultados se consideran cadenas de espines y cadenas de moléculas con rotores.

  Respecto a la teoría de campos hamiltoniana, se obtiene un procedimiento de reducción de la formulación mediante corchetes de la teoría de campos polisimpléctica y multisimpléctica. Esto generaliza la reducción de Poisson-Poincaré desde la mecánica a la teoría de campos. Tras la la identificación de una categoría de fibrados adecuada, este proceso podría iterarse proporcionar los primeros resultados hacia una teoría de reducción por etapas en teoría de campos hamiltoniana.

  En conclusión, la reducción por etapas puede utilizarse para examinar diversos sistemas tanto en mecánica como en teoría de campos. La reducción de Lagrange-Poincaré y los fibrados de Lagrange-Poincaré son una herramienta espléndida para este propósito desde el punto de vista lagrangiano. Además, la reducción de Poisson-Poincaré parece ser igualmente importante desde el punto de vista hamiltoniano.

• English

  Geometric mechanics delves on how the global and coordinate-independent techniques ofdifferential geometry can be used to study a wide variety of problems in classical mechanicswhich, at first sight, seem to be unrelated. Rigid bodies, planetary motion, rolling vehicles,control of swarms of quadrotors, sphere robots, among many other systems can be studiedwithin this paradigm.One of the cores ideas of this area of research is that symmetries of the physical systemdo quite often produce conserved quantities and lead to a reduced (and potentially simpler)version of the problem. A fair number of mechanical systems present symmetries with aremarkably distinct nature and prompt the task to carry their reduction procedure by stages.First, a reduced system is obtained using the symmetries of one kind and, afterwards, theresulting system is reduced using the symmetries of the other nature. This iterative processhas already been studied with profusion in both, Lagrangian and Hamiltonian classical mechanics...