Resumen de Acotación de soluciones de ecuaciones parabólicas logísticas no autónomas.

Marcos Molina Rodríguez

• español

  Esta tesis se centra en estudiar bajo qué condiciones las soluciones de un problema parabólico logístico degenerado no autónomo pueden ser acotadas o no acotadas. El término degenerado implica que el término logístico no lineal puede anularse en algún subconjunto del dominio. La tesis se centra en el estudio de la acotación o no acotación de las soluciones cuando el subconjunto donde se anula el término no lineal es compacto y puede depender del tiempo. La acotación de las soluciones es el primer paso hacia el estudio del comportamiento asintótico de las soluciones, una cuestión muy importante y relevante para estos sistemas. Por otra parte, los resultados de no acotación de soluciones en esta investigación contribuyen a estudiar dónde explotan las soluciones (en tiempo infinito). Además, la acotación de las soluciones es un requisito necesario para estudiar otros comportamientos dinámicos asintóticos de las soluciones, como la convergencia hacia el equilibrio, la existencia de órbitas periódicas o incluso soluciones cuasi o casi periódicas. Por lo tanto, esta investigación es el primer y crucial paso hacia la comprensión de la dinámica asintótica.

  Esta investigación se divide en una introducción y 4 capítulos. El primer capítulo contiene resultados técnicos utilizados en el resto de la disertación.

  El segundo capítulo se centra en el problema autónomo y presenta un resultado de comparación necesario para la caracterización de aquellos puntos donde las soluciones crecen indefinidamente. Los capítulos tercero y cuarto están dedicados al problema no autónomo y a las condiciones bajo las cuales puede obtenerse la acotación o no de las soluciones. En particular, en el capítulo tercero se introducen resultados generales de acotación y no acotación para un rango de valores del coeficiente del término lineal en la función de tipo logístico. Además, para aquellos casos que no entren en dicho rango; se presentan resultados específicos de acotación y no acotación.

  El cuarto capítulo está dedicado a la aplicación de técnicas de averaging sobre los problemas estudiados en el capítulo tercero.

• English

  This dissertation focuses on studying under which conditions solutions of a particular nonautonomous logistic parabolic boundary value problem can be bounded or unbounded. Boundedness of solutions is the rst step towards studying the asymptotic behaviour of solutions which is the ultimate goal of this research. Moreover, unboundedness results in this research also contribute to studying where are solutions exploding (in infinite time). Furthermore, boundedness of solutions is a necessary prerequisite in order to study periodic solutions and orbits. Therefore this research is the first and crucial step towards understanding asymptotic dynamics.This research is divided into an introduction plus 4 chapters. The first chapter are technical results used in the rest of the dissertation, the second chapter presents a result on an autonomous problem. The third and fourth chapters are dedicated to the nonautonomous problem and to the conditions under which boundedness of solutions can be obtained...