Resumen de Compacidad en el marco de las dualidades de grupos abelianos

Tayomara Anjara Borsich González

• español

  La Tesis trata sobre dualidad en grupos topológicos abelianos. En la categoría de los grupos topológicos abelianos, el objeto dualizante es el círculo unidad del plano complejo con la topología inducida por la euclídea del plano. El grupo dual de un grupo topológico abeliano G es el grupo formado por los caracteres continuos de G, respecto de la operación definida puntualmente. Una dualidad es un par (G, H) donde G es un grupo abeliano y H un subgrupo de caracteres definidos en G. Una topología de grupo en G es compatible con la dualidad (G, H) si el dual de G con dicha topología es H. La familia de las topologías compatibles tiene un mínimo que es la topología inicial en G respecto de la familia de caracteres H. En general no tiene un máximo, y cuando lo tiene se denomina topología de Mackey de G respecto de la dualidad (G, H). En la Tesis se plantean, entre otros, los siguientes problemas: Dada una dualidad de grupos (G, H), 1) ¿Existe alguna topología en G compatible con la dualidad, que sea topología de k-grupo? 2) ¿Existe alguna topología g-tonelada en G compatible con la dualidad? 3) ¿Es g-tonelado el dual de un grupo precompacto? La respuesta a estas preguntas ha requerido la introducción de conceptos y el desarrollo de resultados adicionales. Un grupo topológico G es g-tonelado si los subconjuntos débilmente compactos del dual de G son equicontinuos. Si el grupo es además localmente cuasi-convexo (lqc), su topología es la máxima lqc compatible con la dualidad, ya que coincide con la topología de la convergencia uniforme en la familia de todos los subconjuntos débilmente compactos del dual. Por este motivo, la clase de los grupos lqc g-tonelados es óptima para la extensión completa del Teorema de Mackey-Arens válido para espacios localmente convexos.

  Hemos obtenido varias propiedades de permanencia para la clase de los grupos g-tonelados. La más interesante es que la clase es multiplicativa, que a su vez ha permitido probar que el producto arbitrario de grupos localmente compactos abelianos es un grupo de Mackey. Queda pendiente la cuestión general, abierta hace varios años, de si el producto de grupos de Mackey es grupo de Mackey.

  En el último capítulo se estudia la extensión a la clase de los grupos topológicos del siguiente Teorema de Krein: Si E es un espacio localmente convexo Hausdorff y completo, y K un subconjunto débilmente compacto de E, entonces la envoltura convexa, equilibrada y cerrada de K es de nuevo un subconjunto débilmente compacto. Un grupo topológico G tiene la qcp (quasi-convex compactness property) si la envoltura cuasi-convexa de todo subconjunto compacto de G es un subconjunto compacto de G. Hemos probado que para un grupo metrizable con suficientes caracteres continuos, la qcp implica la cuasi-convexidad local. Hemos estudiado el carácter hereditario de la qcp y para subgrupos densos de algunos grupos topológicos vemos que tener la qcp y "determinar" al grupo son propiedades mutuamente excluyentes (por determinar se entiende que el subgrupo tiene el mismo dual que el grupo). También hemos visto relaciones de la qcp con la continuidad de la evaluación canónica.

  Por último, se da un ejemplo de grupo que es metrizable y completo, y que dotado de la topología débil no tiene la qcp. Concluimos así que el Teorema de Krein arriba mencionado no se extiende en la forma natural a los grupos localmente cuasi-convexos.

• English

  This Thesis deals with abelian topological groups. When considering the duality in the category GT A of abelian topological groups, the dualizing object is the unit circle T of the complex plane with the topology induced by the Euclidean plane. The dual group of an abelian topological group (G, τ ) is the group formed by all τ-continuous characters, with the natural pointwise operation. It is often called G∧ or (G, τ )∧. A duality is a pair ⟨G,H⟩ where G is an abelian group and H is a subgroup of characters defined on G. A group topology ν on G is compatible with the duality ⟨G,H⟩ if (G, ν)∧ = H. The minimum of the family of all compatible topologies is the initial topology on G relative to the family of characters H, which is often called σ(G,H). In general this family does not have a maximum, and when it does it is called the Mackey topology of G relative to the duality ⟨G,H⟩...