Análisis funcional en estructuras asimétricas

• Autores: Francisco Javier Antonio Venegas Martínez
• Directores de la Tesis: Jesús Angel Jaramillo Aguado (dir. tes.) , Aris Daniilidis (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2023
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • Functional analysis in asymmetric structures.
• Tribunal Calificador de la Tesis: Claudio Antonio Muñoz Ceron (presid.) , David Sebastián Salas Videla (secret.) , Hanne Van Den Bosch (voc.) , Mar Jiménez Sevilla (voc.) , Stéphane Gaubert (voc.) , M. Angeles Prieto Yerro (voc.) , Robert Deville (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen

  • Esta tesis consiste en el estudio de distintos tipos de estructuras de naturaleza asimétrica, ya sea en relación a una estructura métrica, algebráica, diferencial, o a una combinación de ellas, teniendo las asimetrías métricas un rol protagónico. Algunos ejemplos de estas estructuras incluyen a los espacios normados asimétricos, en los cuales un espacio vectorial real E es dotado de una función p que satisface todas salvo una de las condiciones necesarias para ser una norma, lo cual permite que los valores de p(v) y p(-v) puedan diferir para algunos puntos v en el espacio E. Esta noción puede generalizarse aún más relajando la estructura algebráica del espacio vectorial, reemplazando el grupo aditivo por un monoide (el cual puede no poseer inversos aditivos), y restringiendo el producto por escalar a los escalares no-negativos. Esto da origen a la noción de cono normado. Otro ejemplo interesante son las variedades de Finlser, las cuales tienen la misma estructura diferencial de una variedad suave de dimensión finita, pero cada uno de los espacios tangentes del fibrado tangente de la variedad está dotado de una norma asimétrica, en contraste de las normas generadas por productos internos usados en las variedades Riemannianas. Estos ejemplos, y la mayoría de las estructuras que se estudiaron en este trabajo, pueden ser estudiados en el contexto de los espacios cuasi-metricos, los cuales son una generalización de los espacios métricos en la que la función distancia cumple todas las condiciones necesarias para ser una métrica a excepción de una: la distancia puede no ser simétrica, en el sentido de que la distancia entre dos puntos a y b puede no coincidir con la distancia entre b y a. Quitar la hipótesis de simetría de la definición de métrica permite una mayor flexibilidad en las situaciones que pueden ser modeladas con este concepto, pero tiene la desventaja de que pueden perderse algunas herramientas y resultados conocidos en espacios métricos.

    Nuestro estudio de estas estructuras asimétricas se realiza usando herramientas y nociones inspiradas por el análisis funcional clásico. En especial, la idea de utilizar alguna estructura en un espacio de funciones a valores reales sobre un conjunto para determinar alguna propiedad sobre el conjunto en sí está presente en la mayoría de los resultados de este trabajo.

    El Capítulo 2 contiene todas las definiciones y nociones preliminares necesarias. El Capítulo 3 presenta una caracterización de casi isometrías entre variedades de Finsler, publicada en https://doi.org/10.1016/j.jfa.2020.108662. El Capítulo 4 trata sobre una generalización del concepto de espacio Lipschitz-libre al contexto de los espacios cuasi-métricos, la cual se publicó en https://doi.org/10.4064/sm200527-24-11. El Capítulo 5 se divide en dos secciones: la Sección 5.1 da una generalización del clásico teorema de Myers-Nakai, el cual caracteriza las isometrías entre variedades Riemannianas, al caso asimétrico de las variedades de Finsler. Este resultado requirió definir nuevas estructuras asimétricas (llamadas semianillo-cónico y álgebra normada asimétrica extendida), las cuales son luego utilizadas en la Sección 5.2 para demostrar un teorema tipo Banach-Stone abstracto para espacios métricos.