Resumen de Aportaciones a la teoría asintótica de los procesos de ramificación
- español
Esta tesis se enmarca en el campo de los procesos estocásticos, concretamente en la modelización a través de procesos de ramificación. Estos últimos describen la evolución de sistemas aleatorios donde los elementos se ramifican siguiendo determinadas reglas probabilísticas. Nos centramos en la teoría asintótica ofreciendo importantes teoremas límite para algunos de sus modelos.
Empezamos trabajando con los llamados procesos de ramificación controlados, tanto unitipo como multitipo, caracterizados porque el número de elementos en el sistema que pueden generar nuevos elementos está determinado por un mecanismo de control aleatorio. Se estudian los límites de estos procesos cuando se escalan en el tiempo y en el tamaño. En el caso unitipo, se prueba la convergencia a procesos de difusión ramificada de Feller y procesos de ramificación con espacios de estados continuos (ambos con inmigración) basándonos, respectivamente, en teoremas límite para procesos de pasos aleatorios y técnicas de convergencia de generadores. En el caso multitipo, se extiende la primera metodología al contexto multidimensional obteniendo otra difusión límite.
En segundo lugar, tratamos con la familia de los procesos de ramificación espaciales, en la que la posición de los elementos en el sistema afecta a la ramificación, que además puede ser no local. Los modelos usados son el proceso de Markov ramificado y el superproceso, correspondientes a sistemas discretos y continuos, respectivamente. En el caso crítico sin (con) inmigración, probamos la convergencia a una distribución exponencial (gamma). En el caso subcrítico, siempre considerando la presencia de inmigrantes, se prueba la existencia de distribución estacionaria.
- English
This thesis belongs to the field of stochastic processes, specifically focusing on modeling via branching processes. The latter describe the evolution of random systems where elements branch according to certain probabilistic rules. We focus on asymptotic theory, providing significant limit theorems for some of their models. We begin by working with the so-called controlled branching processes, both single-type and multi-type, characterized by the fact that the number of elements in the system that can generate new elements is determined by a random control mechanism. The limits of these processes are studied when scaled in time and size. In the single-type case, we show the convergence to a Feller’s branching diffusion and a continuous-state branching process (both with immigration). The proofs are respectively based on limit theorems for random step processes and generator convergence techniques. In the multitype case, the first methodology is extended to the multidimensional context, yielding another diffusion limit. Secondly, we deal with the family of spatial branching processes, in which the position of the elements in the system affects branching, which may also be non-local. The models used are the branching Markov process and the superprocess, corresponding to discrete and continuous systems, respectively. In the critical case without (with) immigration, we prove convergence to an exponential (gamma) distribution. In the subcritical case, always considering the presence of immigrants, we show the existence of a stationary distribution.
