Resumen de Fibrados de Higgs multiplicativos, monopolos e involuciones.
Guillermo Gallego
La presente tesis doctoral se centra en el estudio de la acción de una involución holomorfa de un grupo reductivo complejo G en el espacio de móduli de los fibrados de Higgs multiplicativos asociados a dicho grupo complejo, sobre una superficie de Riemann compacta. Los fibrados de Higgs multiplicativos son una clase de pares definidos sobre una superficie de Riemann compacta, y que están formados por un G-fibrado principal sobre la superficie de Riemann y una sección meromorfa del fibrado asociado al fibrado principal y a la acción adjunta del grupo de estructura G en sí mismo. Los fibrados de Higgs multiplicativos sobre una superficie de Riemann están en correspondencia biyectiva con los monopolos singulares en el producto de la superficie de Riemann y la circunferencia, con grupo de estructura el grupo maximal compacto K de G. Basándonos en esta correspondencia, estudiamos el problema análogo desde el punto de vista de los monopolos.
Las involuciones que se estudian en la tesis envían un par formado por un fibrado y una sección al par formado por el fibrado asociado a la acción de la involución en el grupo de estructura, y la sección transformada por la propia involución, o la inversa de ésta. En el proceso de estudiar estas involuciones, se considera una nueva noción de fibrado de Higgs multiplicativo que toma valores en una variedad simétrica asociada a la involución del grupo, o a una inmersión equivariante de la misma. Estos objetos aparecen como puntos fijos de una de estas involuciones, aunque también surgen otros objetos relacionados. A su vez, esta noción da un análogo multiplicativo a los bien conocidos fibrados de Higgs para grupos reales. Por otra parte, entendiendo las variedades simétricas como una generalización de los grupos, la teoría desarrollada aquí da una generalización de la teoría de fibrados de Higgs multiplicativos. Reemplazando la teoría de monoides reductivos de Vinberg por la teoría de inmersiones de variedades simétricas de Guay, generalizamos algunos de los resultados ya conocidos sobre fibrados de Higgs multiplicativos a este contexto.
Cuando la superficie de Riemann tiene género 1, también estudiamos la interacción entre dichas involuciones y la estructura simpléctica holomorfa del espacio de móduli de fibrados de Higgs multiplicativos y, equivalentemente, con la estructura hiper-kähleriana del espacio de móduli de monopolos singulares en el producto de la superficie de Riemann y la circunferencia. En particular, mostramos que los puntos fijos de una de las involuciones definen una subvariedad simpléctica holomorfa del espacio de móduli, mientras que los puntos fijos de la otra forman una subvariedad holomorfa lagrangiana.
