Técnicas computacionales para la robustez en ondas no lineales en la ecuación de Rosenau-Hyman

• Autores: Rubén Garralón López
• Directores de la Tesis: Francisco Román Villatoro Machuca (dir. tes.) , Francisco de Asís Rus Mansilla (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Málaga ( España ) en 2024
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Pedro Fernández de Córdoba Castellá (presid.) , Carmen María García López (secret.) , Jesús Cuevas Maraver (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: RIUMA
• Resumen

  • El objetivo de esta tesis doctoral es la presentación y análisis numérico por primera vez de la ecuación absoluta de Rosenau-Hyman, |K|(p, p). Las soluciones de la ecuación |K|(p, p) son ondas solitarias de soporte compacto conocidas como compactones cuando son no negativas, y anticompactones cuando son no positivas. Para las simulaciones se ha empleado uno de los métodos numéricos más utilizados para la ecuación K(p, p) original de Rosenau-Hyman. Este método, desarrollado por De Frutos, López-Marcos y Sanz-Serna, es una aproximación Petrov-Galerkin en el espacio con condiciones de contorno periódicas. Incluye un término disipativo (hiperviscosidad) para asegurar la estabilidad en las simulaciones numéricas de las soluciones de los compactones.

    En primer lugar, se presenta la robustez de la ecuación de Rosenau-Hyman, K(p, p), en colisiones compactón-anticompactón. El estudio de la robustez era necesario ya que las colisiones compactón-anticompactón han sido poco estudiadas en la literatura. La evolución numérica de estas colisiones conduce a la explosión (blow-up) de la solución, al menos cuando la amplitud es grande. La evidencia numérica se limita a simulaciones de colisiones simétricas (un compactón frente a un anticompactón con la misma amplitud) para la ecuación K(p, p) con p = 2. Se estudian colisiones asimétricas compactón-anticompactón en la ecuación K(p, p) con valores enteros de p > 1 utilizando el método numérico desarrollado con diferentes valores de hiperviscosidad. Se observa la robustez de las colisiones compactón-anticompactón para valores impares de p = 3, 5 y 7. Sin embargo, para los valores pares p = 2, 4, y 6, se observa que la solución explota a menos que la relación de las amplitudes (en valor absoluto) del compactón y del anticompactón estén por debajo de un umbral dado que depende del valor de p y del parámetro de hiperviscosidad.

    En segundo lugar, cuando los valores de p son no enteros en la ecuación K(p, p), la aparición de valores complejos en la solución numérica durante las colisiones entre compactones es inevitable y supone un problema que hay que abordar. Para lidiar con la no linealidad de la ecuación, puede aplicarse un cambio de variable con el valor absoluto para que la solución sea siempre real, dando lugar a la ecuación de Rosneau-Hyman absoluta, |K|(p, p). Se presentan las primeras simulaciones numéricas de colisiones entre compactones y anticompactones para la ecuación |K|(p, p), mostrando que, tanto las colisiones compactón-compactón como las colisiones compactón-anticompactón, son robustas incluso con valores muy pequeños de hiperviscosidad.

    Y en tercer lugar, se aplica la teoría de perturbación adiabática para comprender el efecto de la hiperviscosidad en soluciones con múltiples compactones en la ecuación |K|(p, p). Para un solo compactón, esta teoría nos muestra que el segundo invariante disminuye para valores de p menores que un valor crítico, como se espera de una perturbación disipativa, pero aumenta en caso contrario. La predicción analítica concuerda bien con los resultados numéricos. Para describir los fenómenos disipativos inducidos numéricamente que se observan en las simulaciones, se desarrolla una implementación numérica de la teoría de perturbación adiabática. Se basa en la evolución temporal del segunda invariante de la ecuación bajo la perturbación. Esta predicción numérica concuerda con la evolución del segundo invariante para un solo compactón, la generación de trenes de compactones a partir de la condición inicial de tipo coseno truncado, y las colisiones compactón-compactón. Sin embargo, se encuentran discrepancias en otros escenarios como en la generación de trenes de compactones a partir de un compactón dilatado y en las colisiones compactón-anticompactón.

    En general, los hallazgos de esta tesis doctoral apoyan el uso de la ecuación |K|(p, p) para aplicaciones físicas frente a la ecuación K(p, p), y respaldan el uso de la teoría de perturbación adiabática para analizar la evolución de los invariantes debido a la hiperviscosidad en simulaciones con múltiples compactones.