Gorenstein homological algebra relative to a tilting-like module

• Autores: Rachid El Maaouy
• Directores de la Tesis: Luis Antonio Oyonarte Alcalá (dir. tes.) , Driss Bennis (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2024
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 148
• Títulos paralelos:
  • Álgebra homológica gorenstein relativa a un módulo de tipo tilting
• Tribunal Calificador de la Tesis: Nadia Boud (presid.) , Juan Ramón García Rozas (secret.) , Zine El Abidine Abdelali (voc.) , M'hammed El Kahoui (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: riUAL
• Resumen
  • español

    Recientemente, en la rama de investigación del Álgebra Homológica Gorenstein, se ha introducido una nueva perspectiva que le ha dado un nuevo e importante impulso. Esta nueva perspectiva consiste en estudiar los módulos Gorenstein (inyectivos, proyectivos o planos) en base a un módulo de referencia con determinadas propiedades (un módulo semidualizante), en lugar de tomar como referencia el anillo sobre el que se construyen los módulos. Sin embargo, las condiciones exigidas a un módulo para incluirlo en la clase de los semidualizantes son bastante restrictivas, y no todas parecen ser del todo necesarias para desarrollar una teoría de (co)homología satisfactoria. Así, en los últimos años se han publicado varios artículos con resultados muy relevantes que dan respuesta al problema de hasta qué punto se puede alejar de ser semidualizante el módulo sobre el que se relativizan las clases de módulos Gorenstein, sin que esta pérdida de propiedades se traslade a los resultados esperables. De esta manera, aparecen los módulos w-tilting y w-cotilting.

    Los objetivos fundamentales de esta tesis siguen tres direcciones.

    Primero investigamos la teoría de los módulos GC-proyectivos y de la dimensión asociada a la clase formada por estos módulos, en la categoría de módulos sobre un anillo de matrices triangulares. En concreto, se estudiarán, sobre este tipo de anillos, los conceptos fundamentales del álgebra homológica Gorenstein relativa: hablamos de los módulos w-tilting, de los GC-proyectivos, de las dimensiones GC-proyectivas de los módulos y de la dimensión GC-proyectiva global del anillo.

    En la segunda parte de la tesis hacemos un estudio exhaustivo del ambiente Gorenstein plano relativo, en términos tanto estructurales como de las propiedades de las dimensiones asociadas. Todo esto, por supuesto, respecto a un módulo que no será necesariamente semidualizante.

    Finalmente, investigamos la clase de los módulos GC-planos desde una nueva y prometedora perspectiva: desde el punto de vista homotópico. Más concretamente, desde el punto de vista de las estructuras de modelos abelianas. Así, la última parte de la tesis se dedica al estudio de la existencia de una estructura de modelos abeliana a partir de la clase de los módulos GC-planos, y a la investigación de sus propiedades desde este punto de vista.

  • English

    In recent years, a variant of Gorenstein homological algebra has been successfully introduced. It consists of replacing, in certain situations, the base ring by a semidualizing module C. Recently, and since (semidualizing defining properties are quite restrictive, relevant works have been published with the aim to know to what extent the conditions imposed on the module C can be reduced): the concepts of w-tilting and w-cotilting modules appear and a satisfactory theory has been developed. The goal of this thesis goes in three directions. First, we investigate the theory of the GC-projective modules and dimensions in the category of modules over triangular matrix rings. Namely, several fundamental concepts of relative Gorenstein homological algebra (w-tilting, GC-projective modules, GC-projective dimensions and the global GC-projective dimension) are characterized over such rings. In the second part, we extensively study the relative Gorenstein flat behavior, in terms of both structural and dimension properties, with respect to a non-necessarily semidualizing module. Finally, we investigate the class of the GC-flat modules from a fresh and different perspective: that of homotopical aspect. In particular, from the abelian model structures perspective. Therefore, the rest of this thesis is devoted to investigating the existence of an abelian model structure involving the class of GC-flat modules and then to further study it from this perspective.