Estimación del exponente de Hurst de procesos autosimilares con incrementos estacionarios y sus aplicaciones a los mercados financieros

• Autores: Agustín Gómez Águila
• Directores de la Tesis: Miguel Angel Sánchez Granero (dir. tes.) , Juan Evangelista Trinidad Segovia (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2024
• Idioma: español
• Número de páginas: 136
• Títulos paralelos:
  • Hurst exponent estimation of self-similar processes with stationary increments and their applications to financial markets
• Tribunal Calificador de la Tesis: Román Salmerón Gómez (presid.) , Antonio Manuel Puertas Lopez (secret.) , Jesús Rodríguez López (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: riUAL
• Resumen
  • español

    La presente memoria tiene como objetivo mostrar los avances obtenidos en la estimación del exponente de Hurst de procesos autosimilares con incrementos estacionarios, tanto a nivel teórico como en el ámbito práctico, mostrando además su aplicación en el análisis de los mercados financieros a través del estudio de las series del logaritmo de los precios de acciones.

    En primer lugar, se pone en contexto el exponente de Hurst, una medida para cuantificar la autosimilaridad de un proceso, introduciendo históricamente el concepto y exponiendo la importancia del mismo, motivando así los objetivos que se fijan en esta memoria. A continuación, se revisan una serie de herramientas matemáticas con las que se asienta la base necesaria para el desarrollo del trabajo, que incluye definiciones y teoremas relacionados con la Teoría de la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y los procesos autosimilares y sus incrementos, así como la relación entre los procesos con memoria y el exponente de Hurst.

    Una vez establecido este marco, se describen algunos de los principales métodos para estimar el exponente de Hurst, mostrando su funcionamiento y base matemática, señalando sus ventajas e indicando el contexto donde su uso es frecuente. Tras enmarcar el problema de la estimación del exponente de Hurst, se describe el método TTA, para el que se aporta una justificación matemática. A partir del marco teórico expuesto para el algoritmo TTA se desarrolla el método TA como una mejora de este, comparando su precisión para estimar el exponente de Hurst de series procedentes de procesos autosimilares con incrementos estacionarios con la de otros algoritmos.

    Posteriormente se introduce el método KS, que se sirve de la igualdad en distribución de otros algoritmos para estimar el exponente de Hurst. Se aporta una justificación matemática del método y se expone un análisis de la precisión de las estimaciones que realiza.

    Una de las aplicaciones de este método nos permite comprobar si una serie a la que le hemos calculado el exponente de Hurst es, en efecto, una serie autosimilar para el parámetro estimado. La autosimilaridad de las series ha sido aceptada de forma recurrente en la literatura, aportando en esta memoria una forma de comprobar esta afirmación, evitando así posibles errores a la hora de obtener conclusiones de los resultados. La técnica comentada se aplica a los mercados financieros, en concreto a las series del logaritmo de los precios de las acciones del índice S&P 500, mostrando que en la mayoría de casos las series son autosimlares. Sin embargo, el método permite demostrar que en ciertas ocasiones no es aconsejable aceptar la autosimilaridad de las series.

    Concluido el análisis del problema de la estimación del parámetro y de la verificación de la autosimilaridad de la serie, se desarrollar un modelo para predecir series temporales utilizando el exponente de Hurst. Partiendo del algoritmo de Hosking diseñado para generar movimientos brownianos fraccionales, se describe un modelo que involucra el exponente de Hurst y se comprueba si sirve para modelar las series del logaritmo de precios de las acciones del índice S&P 500, introduciendo ciertas modificaciones en el algoritmo para mejorar su eficacia.

  • English

    The aim of this report is to show the advances obtained in the estimation of the Hurst exponent of self-similar processes with stationary increments, both at a theoretical and practical level, and to show its application in the analysis of financial markets through the study of the series of the logarithm of stock prices. First, the Hurst exponent, a measure to quantify the self-similarity of a process, is put into context, introducing the concept historically and explaining its importance, thus motivating the objectives established in this report. Next, a series of mathematical tools are reviewed to provide the necessary basis for the development of the work, which includes definitions and theorems related to Probability Theory, Stochastic Processes and self-similar processes and their increments, as well as the relationship established between processes with memory and the Hurst exponent. Once this framework is established, some of the main methods for estimating the Hurst exponent are described, showing their operation and mathematical basis, pointing out their advantages and indicating the context where their use is frequent. Once the problem of estimating the Hurst exponent has been contextualised, the TTAmethod is described and a mathematical justification is provided. Based on the theoretical framework presented for the TTA algorithm, the TA method is developed as an improvement of the latter, comparing its accuracy for estimating the Hurst exponent of series from self-similar processes with stationary increments with that of other algorithms. Subsequently, the KS method is introduced, which uses the equality in distribution of other algorithms to estimate the Hurst exponent. A mathematical justif ication of the method is given and an analysis of the accuracy of the estimates is presented. One of the applications of this method allows us to check whether a series to which we have calculated the Hurst exponent is, in fact, a self-similar series for the estimated parameter. The self-similarity of the series has been recurrently accepted in the literature, and in this report we provide a way of checking this assertion, thus avoiding possible errors when drawing conclusions from the results. The technique is applied to financial markets, specifically to the series of the logarithm of share prices of the S&P 500 index, showing that in most cases the series are self-similar. However, the method shows that in certain cases it is not advisable to accept the self-similarity of the series. After analysing the parameter estimation problem and verifying the self-similarity of the series, a model for predicting time series using the Hurst exponent is developed. Starting from Hosking’s algorithm designed to generate fractional Brownian motions, a model involving the Hurst exponent is described and tested to see if it is suitable for modelling the logarithm series of the S&P 500 index stock prices, introducing some modifications to the algorithm to improve its efficiency.