Generalized takagi functions.

• Autores: Jesús Llorente Jorge
• Directores de la Tesis: Javier Gómez Gil (dir. tes.) , Juan Ferrera Cuesta (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2024
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Funciones de takagi generalizadas.
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jesús Angel Jaramillo Aguado (presid.) , Gustavo Adolfo Muñoz Fernández (secret.) , Zoltán Buczolich (voc.) , Estibalitz Durand Cartagena (voc.) , Stéphane Seuret (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen

  • La función de Takagi es, probablemente, el ejemplo más sencillo de una función continua no derivable en ningún punto. Ha sido estudiada por un extenso número de matemáticos dando lugar a una gran cantidad de generalizaciones con el objetivo de extender las propiedades intrínsecas de la función de Takagi a una familia más amplia de funciones. En la literatura, estas generalizaciones reciben el nombre de funciones de Takagi generalizadas.

    El objetivo de esta tesis es presentar los resultados obtenidos como consecuencia del estudio de ciertas propiedades para diferentes funciones de Takagi generalizadas.

    En el Capítulo 1 se presentan las diferentes familias de funciones que se consideran en este trabajo: la Clase de Takagi, la función de Takagi-Van der Waerden y la Clase Generalizada.

    En el Capítulo 2 estudiamos algunas propiedades de diferenciabilidad de orden dos para las funciones de la Clase de Takagi. En particular, caracterizaremos cuando una función de dicha clase es convexa o cóncava en términos de una condición sobre la sucesión de pesos. Además, investigaremos cuando dicha función tiene un desarrollo de Taylor de orden dos en un punto, o satisface la propiedad de Stepanoff de orden dos en un punto.

    En el Capítulo 3 estudiamos la existencia de derivadas infinitas para la función de Takagi-Van der Waerden. En particular, probamos que dicha función no tiene derivada lateral finita en ningún punto. A continuación, caracterizamos el conjunto de puntos en los que la función de Takagi-Van der Waerden tiene una derivada lateral infinita en términos de una condición sobre la expansión en base r de dichos puntos. La última parte del Capítulo 3 está dedicada a probar que dicho conjunto tiene dimensión de Hausdorff uno.

    En el Capítulo 4 estudiamos la subdiferenciabilidad y la superdiferenciabilidad de la función de Takagi-Van der Waerden. Ambas propiedades pertenecen al denominado análisis nonsmooth. Caracterizamos la superdiferencial de la función de Takagi-Van der Waerden en un punto a través de la expansión en base r de dicho punto.

    Este resultado nos permitirá caracterizar el conjunto de máximos locales de la función de Takagi-Van der Waerden cuando r es par. Finalizamos el Capítulo 4 probando que, si r es un número entero par, entonces la medida de Hausdorff 1/2-dimensional del conjunto de puntos donde la función de Takagi-Van der Waerden alcanza su máximo valor es 1/ (raíz cuadrada de r+1).

    El último capítulo de esta memoria trata sobre la denominada Clase Generalizada. Fue introducida por Juan Ferrera y Javier Gómez Gil en el año 2018 y contiene todas las familias de funciones que se han presentado anteriormente.

    Probaremos que la diferenciabilidad clásica y aproximada en un punto son propiedades equivalentes para las funciones de la Clase Generalizada. En consecuencia, tenemos que una función de la Clase Generalizada es aproximadamente diferenciable en ningún punto, si y solo si la sucesión de pesos no converge a cero.