Resumen de Reduction by fiberwise actions and higher-order reduction in Field Theory.
Álvaro Rodríguez Abella
El objetivo de esta tesis es desarrollar dos nuevos tipos de reducción por simetrías para teorías de campos lagrangianas covariantes, a saber, reducción por acción fibrada, también conocida como reducción gauge local o, simplemente, reducción gauge, y reducción de Euler-Poincaré de orden superior. En ambos casos, la técnica empleada consiste en estudiar la geometría del fibrado de configuración reducido, esto es, el cociente del fibrado de configuración original por la acción correspondiente, y a continuación transferir el principio de acción estacionaria o principio de Hamilton a dicho fibrado reducido. Las variaciones reducidas ya no son libres, sino que están restringidas, y al aplicarlas a la lagrangiana reducida se obtienen las ecuaciones de campo reducidas. Además de lo anterior, se abordan el problema de reconstrucción, dando las condiciones de compatibilidad que garantizan que las soluciones de las ecuaciones reducidas proceden de soluciones de las ecuaciones originales, y la relación de las ecuaciones reducidas (o parte de ellas) con las leyes de conservación dadas por el teorema de Noether.
En el caso de reducción gauge, un fibrado de grupos de Lie actúa fibra a fibra en el fibrado de configuración de la teoría y la lagrangiana es invariante por un subfibrado de grupos de Lie afín de la prolongación al primer jet de esta acción. La geometría del cociente se estudia mediante una conexión de Ehresmann equivariante por la acción fibrada, por lo que se incluye un capítulo estudiando las propiedades de este tipo de conexiones y su curvatura, las cuales generalizan las nociones de conexión principal y de conexión afín. En el caso de reducción de Euler-Poincaré de orden superior, la lagrangiana está definida en el fibrado de jets de orden superior de un fibrado principal y es invariante por la acción del grupo de estructura del fibrado principal. La geometría del fibrado reducido se estudia de forma canónica, es decir, sin necesidad de utilizar una conexión.
Por último, los resultados teóricos se ilustran mediante diferentes ejemplos. Específicamente, la reducción gauge se aplica al caso clásico de simetrías globales (reducción de Lagrange-Poincaré), a la invarianza por el jet completo, al electromagnetismo (incluyendo electromagnetismo con formas de orden superior y ruptura espontánea de simetría) y a teorías gauge no-abelianas (en particular, a la teoría de Yang-Mills, obteniendo el conocido teorema de Utiyama). Para este último ejemplo es preciso trivializar la estructura de grupoide de Lie del fibrado de 2-jets de funciones de una variedad diferenciable a un grupo de Lie mediante una conexión lineal, por lo que se incluye un capítulo estudiando estos fibrados. Finalmente, la reducción de Euler-Poincaré de orden superior se aplica a splines de orden superior multivariables definidos en grupos de Lie riemannianos. Este tipo de splines son útiles para interpolar datos en grupos de Lie minimizando derivadas de orden superior, como la aceleración.
