Resumen de Integral kernel operators on spaces of analytic functions
Leyanis Elena de la Rosa Pérez
Esta tesis se sitúa en el contexto de la teoría de operadores concretos sobre espacios de funciones, habitualmente analíticas y definidas en el disco unidad del plano complejo. Dentro de esta línea desempeña un papel fundamental el estudio de operadores integrales inducidos por núcleos, a menudo reproductores en algún sentido, ya que muchos de los operadores más importantes están definidos o se pueden representar de esta manera. A modo de ejemplo, basta citar la proyección de Bergman y el operador de Hilbert, operadores que han suscitado mucho interés en las últimas décadas y que han dado lugar a una extensa literatura.
Cabe destacar, además, la influencia de la teoría de pesos en el desarrollo de esta tesis. Nos referimos como peso a una función definida en el disco, no negativa e integrable. Concretamente, los problemas que abordamos se sitúan en el contexto de pesos radiales que satisfacen ciertas propiedades doblantes.
En primer lugar, se aborda una generalización del operador clásico de Hilbert, al que se le llama operador de Hilbert generalizado, en el que el núcleo es inducido por un peso radial. El problema consiste en describir los pesos radiales tales que el nuevo operador mantiene ciertas características del operador clásico. En concreto, se estudia la acotación en los espacios de Hardy y en ciertos espacios de funciones analíticas estrechamente relacionados, así como en espacios de Bergman con peso. Además, se obtienen resultados sobre la compacidad del operador.
En segundo lugar, se estudia la Proyección de Bergman inducida por un peso radial. Encontrar proyecciones analíticas acotadas en espacios de Lebesgue constituye uno de los pilares para el desarrollo de la teoría, debido principalmente a sus numerosas aplicaciones. Entre otros problemas, se aborda una generalización del problema de Dostanic, problema de especial relevancia en la teoría de operadores.
Por último, se abordan ciertas desigualdades de tipo Littlewood-Paley, resultados de destacada importancia en la teoría de funciones analíticas. Se busca extender las fórmulas conocidas para derivadas clásicas en el ámbito de las derivadas fraccionarias, y describir los pesos tales que dichas fórmulas se satisfacen.
