Lorentz-Finsler geometry and Einstein equations
- Autores: Fidel Fernández Villaseñor
- Directores de la Tesis: Miguel Sánchez Caja (codir. tes.)
, Miguel Angel Javaloyes (codir. tes.) - Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2024
- Idioma: inglés
- ISBN: 9788411954334
- Número de páginas: 248
- Tribunal Calificador de la Tesis: Francisco Martín Serrano (presid.) , Miguel Ortega Titos (secret.) , Alma Luisa Albujer Brotons (voc.) , Claude Miles Warnick (voc.) , Rossella Bartolo (voc.)
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- Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
- Resumen
La geometría de Lorentz-Finsler generaliza los productos escalares lorentzianos a una norma de Lorentz en cada punto de una variedad. Estas normas lorentzianas aún permiten definir vectores temporales, la longitud de curvas de este género y (bajo ciertas condiciones de regularidad) vectores luminosos y causalidad. Todo ello da lugar a un espaciotiempo de Finsler. Además de por su interés matemático, en las dos últimas décadas tal generalización ha experimentado un fuerte auge de interés por sus posibles papeles en física. Citemos, solo a modo de muestra, la relatividad muy especial de Cohen y Glashow (2006) o las relaciones de dispersión modificadas (2007 en adelante), centrales en fenomenología de la gravedad cuántica. Para las aplicaciones a gravedad clásica o cosmología, una cuestión acuciante permanece sin consenso: ¿Cuál es la generalización más apropiada de la ecuación de campo de Einstein al ambiente finsleriano? La presente Memoria contribuye a la resolución de este problema en diferentes aspectos.
Su punto de vista es que, matemáticamente, deben tenerse en cuenta dos principios.
El primero es la preponderancia de las ecuaciones variacionales en el espíritu del formalismo de Hilbert de 1915. El segundo es que la conexión de una variedad desempeña un papel independiente al de su métrica, conduciendo a formalismos tipo Hilbert-Palatini. Con mayor motivo, además, en el caso de extensiones relativistias finslerianas, pues ahí conviven al menos tres conceptos naturales que generalizan al de conexión afín. Mencionemos también la necesidad de entender sistemáticamente las consecuencias de estos formalismos, en forma de leyes de conservación, y las posibles fuentes de materia/energía para sus ecuaciones. Teniendo todo esto en cuenta como motivación, tras un capítulo introductorio (que pretendemos sirva como guía de lectura), desarrollamos cuatro capítulos. Cada uno de ellos reproduce en su totalidad una de las publicaciones de investigación que compendian la presente Memoria y que describimos con detalle a continuación.
El Capítulo 1 corresponde al artículo [JSV1]. Se dedica a un estudio sistemático de las conexiones anisotrópicas , las cuales formalizan la idea intuitiva de tener una conexión afín clásica con un valor distinto para cada observador en cada punto. Estas habían sido implícitamente introducidas por autores como Matthias (1980), Shen (2001) o Rademacher (2004) y desarrolladas por Javaloyes (2014 en adelante), pero su rol en geometría pseudo-Finsler (entiéndase, la obtenida reemplazando arriba la signatura lorentziana por una cualquiera) no estaba completamente establecido. Aquí, determinamos tal rol al demostrar que el conjunto de todas las está en biyección canónica con el de las conexiones finslerianas (o sea, lineales en el fibrado vertical) que verifican la propiedad de ser verticalmente triviales. Más aún, obtenemos el panorama completo de relaciones entre las conexiones anisotrópicas y otras más estándar: 1) Cada induce naturalmente una conexión nolineal (o sea, una distribución horizontal sobre el fibrado tangente), y viceversa.
2) Prefijada una conexión nolineal, cada (verticalmente trivial o no) se proyecta naturalmente sobre una , que aparece como la "parte horizontal" de .
3) En presencia de una métrica de pseudo-Finsler , la conexión nolineal vendrá determinada por el spray de las -geodésicas, obteniéndose que las de Hashiguchi y Berwald se proyectan en la de este último y las de Cartan y Chern-Rund se proyectan sobre la de Chern. (Notemos que las de Berwald y Chern son verticalmente triviales pero las de Hashiguchi y Cartan no.) Existe un transporte paralelo asociado a que tampoco había sido objeto de un estudio específico previo, lo que nos lleva a dilucidar este aspecto de la geometría de conexiones anisotrópicas. Consistentemente con la intuición de estas, encontramos la siguiente interpretación. Para transportar un vector o tensor a lo largo de una curva general , primero debemos elegir un cierto campo vectorial a lo largo de ella (nótese que el tangente a puede no ser admisible). La elección natural es transportar paralelamente un vector ("observador instantáneo"), de modo que el campo resultante sobre resulte paralelo con respecto a la dirección determinada por el propio . De esta manera, el observador elegido sirve como referencia para propagar el resto de objetos. Concluimos que este "transporte paralelo adaptado al observador" es apropiado, pues demostramos que se recupera a partir del transporte de tensores anisotrópicos. También que la preservación del tensor fundamental mediante paralelismos caracteriza a la conexión de Chern, lo que lleva a interpretarla como la conexión de Levi-Civita de la métrica .
El Capítulo 2 corresponde al artículo [JSV2]. En él, generalizamos el funcional de Einstein-Hilbert-Palatini a uno que depende de una métrica de pseudo-Finsler y una conexión nolineal arbitrarias. Este funcional extiende de manera natural el formalismo puramente métrico desarrollado por Pfeifer et al. (2012/19), considerando la clase de conexiones más adecuada para definir la curvatura de Ricci (que, en el caso finsleriano, es una función escalar sobre la proyectivización del fibrado tangente).
Obtenemos sus ecuaciones de Euler-Lagrange para variaciones de la métrica y de la conexión, y demostramos que el estudio de sus soluciones puede reducirse al de aquellas con torsión 0. Tras esta reducción, vemos que diferentes conexiones, si resuelven la resumen en español 3 correspondiente ecuación, necesariamente tienen diferentes pregeodésicas, en fuerte contraste con el formalismo de Palatini relativista clásico. Esto, y la interpretación física, nos lleva a preguntarnos: Dada la métrica , ¿existe una única conexión? En tal caso, ¿se recupera la misma ecuación que en el formalismo métrico de Pfeifer? Dedicamos los resultados principales a responder a ambas cuestiones. La gran dificultad reside en que, en el lugar de lo que en el formalismo de Palatini clásico eran meras ecuaciones algebraicas, aparece un sistema de EDPs en cada espacio tangente.
Con el fin de extraer toda la información posible de dicho sistema, hemos usado distintas herramientas analíticas nada triviales: 1) Nuestro resultado principal de unicidad muestra que la conexión es única si se asume que su restricción a cada espacio tangente es analítica (como ocurre trivialmente en el caso de las métricas de Lorentz y conexiones afines clásicas).
Además, las geodésicas luminosas de la conexión siempre coinciden con las de . Todo esto lo obtenemos mediante un argumento original de divisibilidad por potencias de que difiere fuertemente de enfoques habituales tipo Cauchy- Kovalevskaya. De hecho, es aplicable en signatura indefinida pero no en el caso definido positivo, donde se usará un argumento totalmente distinto (véase el ítem 3)).
2) En el caso Lorentz-Finsler, el principio del máximo de Hopf permite sustituir la analiticidad del ítem anterior por diferenciabilidad en todo el cono causal futuro, siempre que el tensor de Cartan medio de se anule idénticamente.
3) En caso de que sea una métrica riemanniana, el conocimiento de los valores propios del laplaciano de una esfera implica que la conexión debe ser la de Levi- Civita.
4) Más aún, cada una de estas tres técnicas también permite demostrar que nuestra ecuación para variaciones de se reduce a que se anule idénticamente la curvatura de Ricci de la conexión (aunque esta no tiene por qué ser ninguna de las canónicamente asociadas a ). Compárese esto con el caso clásico, en el que el mismo resultado se obtenía simplemente tomando la traza de la ecuación de Einstein en el vacío y la conexión necesariamente era (esencialmente) la de Levi-Civita.
Como conclusiones, si el tensor de Landsberg medio de se anula idénticamente, recuperamos la situación análoga a la del formalismo de Palatini clásico, así como la ecuación de Pfeifer et al. Pero si no lo hace, el panorama es remarcablemente distinto, pues la conexión solución necesariamente tendrá pregeodésicas diferentes a las de .
El Capítulo 3 corresponde a [Vill] y trata sobre la extensibilidad del clásico teorema de Schur a geometría (pseudo-)Finsler. Para la curvatura bandera, distintas demostraciones habían sido dadas por Berwald (1947), del Riego (1973), Matsumoto (1986) y Z.
Szilasi (2009). Pero para la curvatura de Ricci, continúa siendo un problema abierto.
El principal avance en esta dirección fue obtenido por Robles en 2003, cuando demostró el teorema para la familia de métricas de Finsler-Randers. Aquí, de manera complementaria, lo demostramos para cualquier métrica de Finsler cuyo tensor de Landsberg medio sea 0. Nuestra técnica está inspirada por los desarrollos del Capítulo 2, pues puede verse como aplicación del teorema de Noether a la invariancia por difeomorfismos de nuestros funcionales.
De hecho, suponiendo que la curvatura de Ricci es una función en la variedad base, obtenemos una identidad que expresa su diferencial en cada punto como una integral en la correspondiente indicatriz de términos construidos a partir del tensor de Landsberg medio. Así, en principio estamos caracterizando exactamente cuándo el teorema de Schur es cierto. Terminamos demostrando un resultado que unifica todos los casos particulares del teorema que se conocían para métricas de pseudo-Finsler, y analizando las implicaciones sobre el problema general.
El Capítulo 4 corresponde a [JSV3]. Aquí, por primera vez, se realiza un estudio sistemático de las posibles fuentes físicas de las ecuaciones de Einstein finslerianas en la forma de un tensor de impulso-energía . Razonamos que, genéricamente, será anisotrópico. En efecto: hay diversos motivos que nos llevan a ello en un espaciotiempo de Finsler, como por ejemplo, la violación de la simetría Lorentz predicha en ámbitos cuánticos, la medición de un fluido por distintos observadores o el formalismo lagrangiano. Para ilustrar la idea, presentamos distintos ejemplos de tensores de este tipo, obtenidos a partir de la función de distribución de un gas cinético o de lagrangianos tipo Hilbert-Finsler. Tras esto, nuestro principal objetivo es estudiar la ley de conservación infinitesimal div( ) = 0.
Ello nos requiere introducir todo un cálculo de corchetes y derivadas de Lie anisotrópicos, usando la conexión nolineal. Hecho este desarrollo, definimos geométricamente la divergencia de un campo vectorial anisotrópico y (enfatizando la naturalidad de nuestra propuesta) posteriormente la de . Demostramos un teorema de la divergencia anisotrópico que generaliza otros de Rund (1975) y Minguzzi (2017), y que permite dar una interpretación física de div( ) y, por tanto, de div( ) = 0 como ley de conservación. En efecto: en regiones de espaciotiempo de volumen (finsleriano) pequeño, dado un campo vectorial anisotrópico , el momento ( ) total se conserva entre dos instantes salvo por su flujo a través de la frontera espacial. Finalmente, obtenemos los siguientes ejemplos de leyes globales a partir de la infinitesimal div( ) = 0: 1) En un espacio afín con una norma de Lorentz. En él, cada campo vectorial paralelo produce conservación del momento en esa dirección entre dos instantes de tiempo.
2) En un espaciotiempo de Finsler globalmente hiperbólico. En él, el momento total en una dirección se conserva entre dos hipersuperficies de Cauchy cuando se dan condiciones de decaimiento apropiadas en el infinito espacial.
[JSV1] M. Á. Javaloyes, M. Sánchez y Fidel F. Villaseñor. Anisotropic connections and parallel transport in Finsler spacetimes. En Developments in Lorentzian geometry (actas GeLoCor2021), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics vol. 389 (2022).
[JSV2] M. Á. Javaloyes, M. Sánchez y Fidel F. Villaseñor. The Einstein-Hilbert- Palatini formalism in pseudo-Finsler geometry. Adv. Theor. Math. Phys. vol. 26, no. 10, pp. 3563 3631 (2022).
[Vill] Fidel F. Villaseñor. Schur theorem for the Ricci curvature of any weakly Landsberg Finsler metric. Próxima aparición en Israel J. Math.; preprint: https://arxiv.org/abs/2304.08933 (2023).
[JSV3] M. Á. Javaloyes, M. Sánchez y Fidel F. Villaseñor. On the significance of the stress-energy tensor in Finsler spacetimes. Universe vol. 8, no. 2, artículo 63 (2022).
