Resumen de Aplicación de técnicas analíticas y numéricas de control óptimo en la determinación de actuaciones integrales de vehículos aeroespaciales

Adrián Delgado Marcos

• español

  El análisis de las actuaciones integrales de los vehículos aeroespaciales tiene una gran relevancia en el diseño y la evaluación de la misión, ya que definirá aspectos fundamentales de su operación como el alcance o la autonomía. En esta investigación se busca determinar las trayectorias óptimas de estas plataformas.

  El planteamiento de este tipo de escenarios requiere definir la dinámica de los vehículos; especificar sus características, incluyendo los correspondientes sistemas propulsivos, la aerodinámica, etc.; modelar las condiciones en las que se desarrolla su operación y establecer las restricciones que impone la misión. Por ello, de forma general, el problema se plantea como uno de Control Óptimo.

  En particular, se consideran las actuaciones integrales de tres tipos de plataformas.

  Por una parte, se lleva a cabo un análisis de la fase de crucero para optimizar el alcance de una aeronave ligera con motor alternativo y hélice, así como de una comercial con motor turbofan. También se determinan las trayectorias óptimas de un HAPS (High Altitude Pseudo Satellites) en station-keeping, tratando de minimizar el coste del consumo energético. La resolución sistemática de problemas tan variados requiere de un método numérico.

  En este contexto, esta investigación propone un algoritmo basado en un método numérico de transcripción directa como una herramienta robusta y versátil para resolver los problemas de Control Óptimo resultantes. Se implementan diferentes esquemas de discretización, así como técnicas de refinamiento de malla y diferentes solvers que dotan al algoritmo de la flexibilidad necesaria para adaptarse a diferentes tipos de escenarios. Además, debido al carácter singular de algunos de estos problemas, se define un término de regularización que permite abordar estas situaciones. El método se valida con varios ejemplos de diferente naturaleza presentes en la literatura, incluyendo escenarios característicos como controles bang-bang o problemas singulares, de forma que se prueba su efectividad en circunstancias variadas. En todos los casos se recuperó la solución de las referencias de la bibliografía, con diferencias inferiores al 1% en términos relativos, ratificando la validez de las soluciones obtenidas por el método.

  Seguidamente, se entra ya en el análisis del problema de maximizar el alcance de una aeronave propulsada por motor alternativo y hélice en un vuelo de crucero nivelado en el marco del Control Óptimo. Se supone un modelo simple de avión con una polar parabólica. El modelado de su sistema propulsivo, en contraste con los estudios habituales, considera que el consumo específico de combustible y el rendimiento propulsivo de la hélice son funciones de la velocidad y la potencia del motor. Para llevar a cabo el estudio, seleccionamos una aeronave tipo Piper Cherokee PA-28 como representativa de las aeronaves ligeras. Con los datos existentes, se caracterizan el avión y las especificaciones de la misión, un crucero a 7000 pies de altitud. Además, a partir de las gráficas de rendimiento del motor y la hélice, se construye el modelo del sistema de propulsión (modelo Full). También derivamos dos modelos simplificados: el modelo de Von Mises, con un consumo específico de combustible y un rendimiento propulsivo de la hélice constantes, y el PA, definido por un consumo específico de combustible constante y un rendimiento propulsivo de la hélice que es función de la velocidad.

  El problema se resuelve numéricamente mediante el método de transcripción directa desarrollado. El término de regularización que incluye hace posible también obtener la solución numérica de los modelos de Von Mises y PA, que conducen a problemas singulares. Además, se aplica un método indirecto para obtener analíticamente el arco singular a través de la condición de Kelley, lo que permite calcular la influencia de los términos inerciales despreciados en las ecuaciones de Breguet, cuyo impacto es mínimo —del orden de 100 metros en el rango de la aeronave—. Posteriormente, se valida nuevamente el algoritmo numérico con dicha solución analítica.

  En este contexto, se determinan la velocidad y la masa (variables de estado), la palanca de gases (control) y el alcance máximo. El modelo Full proporciona un alcance máximo de 1492 km. Las diferencias con los modelos de Von Mises y PA son de unos 24 km y 1 km, respectivamente. También se analiza un crucero no óptimo de velocidad constante, que ofrece una reducción significativa del tiempo de vuelo, con una disminución de 27 km en el alcance, alrededor del 2 %; una situación muy diferente a la del caso del turborreactor, que presenta reducciones del orden del 10 %. La evolución de las variables de estado y el control en el crucero estacionario, sin embargo, difiere de la del modelo Full. No es el caso del modelo PA, que prácticamente reproduce los resultados del modelo completo. Además, aporta una imagen clara de la física involucrada en el vuelo: el alcance máximo resulta de maximizar el producto del rendimiento propulsivo de la hélice y la eficiencia aerodinámica con respecto a la velocidad. Eso determina el arco óptimo.

  A continuación, presentamos un estudio equivalente al anterior, pero para una aeronave con motor turbofan. En este caso se utiliza un Boeing 757-200 para el análisis, representativo de aviones comerciales de pasillo único. En el modelado de su sistema propulsivo, de nuevo, se eliminan algunas simplificaciones empleadas habitualmente en este tipo de trabajos. En particular, se consideran las dependencias del empuje y el consumo específico de combustible con la velocidad, derivadas a partir de las gráficas de rendimiento existentes. De manera similar al análisis de aeronaves propulsadas por hélices, introducimos un modelo simplificado basado en el modelo de avión de Von Mises, es decir, asumimos un empuje máximo y un consumo específico de combustible constantes para la altitud de vuelo. El problema resultante se resuelve mediante el algoritmo implementado basado en un método de transcripción directa —que incluye el término de regularización para tratar los casos singulares resultantes—. También, mediante el uso de un método indirecto, se obtiene la solución analítica del caso de Von Mises, así como las ecuaciones de Breguet. De esta manera, se puede determinar el impacto de los términos inerciales y las diferencias con el caso de las aeronaves con motor alternativo. Se comprueba que tienen una contribución pequeña, aunque en comparación con las aeronaves con motor alternativo y hélice, es notablemente mayor —del orden de unos 30 km para la aeronave del estudio—.

  Tras del proceso de optimización se obtiene la solución del problema, incluyendo la evolución de las variables de estado, el control y el alcance máximo. El modelo Full proporciona un alcance máximo de 3411.80 km, unos 63 km mayor que el modelo de Von Mises. Además, en este caso, el tiempo de vuelo resultante también es menor, unos 36 minutos, lo que supone alrededor de un 12% de diferencia. Por su parte, en el programa de velocidad constante se reduce de forma notable el alcance, alrededor del 11% con respecto al modelo Full, en consonancia con los resultados presentados por otros autores. La evolución de las variables de estado presenta tendencias similares entre el modelo Full y el de Von Mises, con diferencias medias algo inferiores al 10 %.

  Seguidamente, se lleva a cabo un análisis donde se muestra la influencia de la altitud en la determinación de las trayectorias óptimas. Debido a las elevadas velocidades asociadas a las aeronaves con motor turborreactor, o turbofan, el incremento del nivel de vuelo hace que en ciertas situaciones del modelo de Von Mises se alcance el límite de velocidad máximo, llevando a que se deba modificar la trayectoria óptima a costa de una pérdida de alcance respecto al escenario en el que no se hace efectiva esta restricción. Para el modelo Full, en cambio, no se da esta circunstancia, ya que al tener menores velocidades asociadas no se alcanza el límite máximo establecido.

  Por último, se analiza un nuevo tipo de vehículos aeroespaciales. Debido a los últimos avances tecnológicos, los HAPS (High altitude Pseudo Satellites) se han convertido recientemente en una solución factible y con gran potencial en la industria aeroespacial para la observación de la Tierra y las comunicaciones, entre otras aplicaciones. Minimizar el consumo de energía de estas plataformas alimentadas por energía solar es fundamental y, en el caso de los vehículos más ligeros que el aire, conduce a plataformas más pequeñas y manejables. Cuando los dirigibles estratosféricos realizan una misión de station-keeping suele ser admisible un cierto desplazamiento respecto al punto de referencia sobre la superficie de la Tierra. Esta flexibilidad permite definir una ley de control óptima para el vehículo que minimiza la energía requerida para volar en un ciclo de 24 horas, lo que lleva a una trayectoria de sprint and drift.

  Esta investigación analiza el impacto en el balance energético de la misión que se deriva de los cambios en el radio permitido de station-keeping. También tiene en cuenta los efectos de las horas de luz, la intensidad del viento y las características del sistema energético a bordo. Una vez formulados los problemas de Control Óptimo asociados se resuelven numéricamente mediante el método de transcripción con regularización implementado. Los resultados definen las trayectorias óptimas de sprint and drift adaptadas a cada escenario, proporcionando la evolución temporal de la potencia disponible que controla el vuelo.

  Se estudia el efecto de los diferentes parámetros ambientales, de operación y de diseño de la plataforma en la misión. Así, se comprueba la relevancia de la relación del coste batería-panel solar, pues determina las diferencias del valor de la energía entre el día y la noche. Además, se calcula el efecto de las horas de luz en el coste de la energía, así como la influencia del viento. Esta última tiene un mayor impacto durante la noche al ser más costosa la energía en este periodo. El análisis indica que siguiendo la trayectoria óptima se consigue un ahorro de peso en el sistema energético de aproximadamente 5.4 kilogramos por kilómetro de radio de station-keeping. Esto implica que, por ejemplo, si se permite un radio de 20 kilómetros, la energía requerida disminuye más del 6% y la capacidad de carga útil aumenta alrededor de un 43% en comparación con el vuelo a punto fijo.

• English

  The analysis of the integral performance of aerospace vehicles is of great relevance in the design and evaluation of the mission, as it will define fundamental aspects of their operation, such as the range or the autonomy. This research seeks to determine the optimal trajectories of these platforms. The approach to this type of scenario requires defining the dynamics of the vehicles; specifying their characteristics, including the corresponding propulsion systems, aerodynamics, etc.; modeling the operational conditions and establishing the constraints imposed by the mission.

  Therefore, in general, the problem is posed as an Optimal Control one.

  In particular, the integral performance of three types of platforms are considered.

  On the one hand, an analysis of the cruise phase is carried out to optimize the range of a reciprocating engine and propeller light aircraft, as well as a commercial aircraft with a turbofan engine. The optimal trajectories of a HAPS (High Altitude Pseudo Satellites) in station-keeping are also determined, trying to minimize the cost of the energy consumption. The systematic resolution of such variety of problems requires a numerical method.

  Within this context, this work proposes an algorithm based on a direct transcription numerical method as a robust and versatile tool to solve the resulting Optimal Control problems. Different discretization schemes are implemented, as well as mesh refinement techniques and different solvers that provide the algorithm with the necessary flexibility to adapt to different types of scenarios. In addition, due to the singular nature of some of these problems, a regularization term that allows these situations to be addressed is defined. The method is validated with several examples from the literature, including characteristic scenarios such as bang-bang controls or singular problems, so that its effectiveness is tested in a wide variety of circumstances. In all cases, we recovered the solutions of the references, with relative differences of less than 1 %, validating the solutions obtained by the method.

  Next, the problem of maximizing the range of a propeller-driven aircraft in a level flight cruise is analyzed within the framework of Optimal Control. A simple model of aircraft with a parabolic drag polar is assumed. The modeling of its propulsive system, in contrast to usual studies, considers that the specific fuel consumption and the propeller efficiency are functions of the velocity and the engine power. To conduct the study, we select a notional Piper Cherokee PA-28 as representative of light aircraft. With the existing data, the airplane and mission features, a cruise at 7000 ft, are characterized. Moreover, from the engine and the propeller performance charts, the model of the propulsive system is constructed (Full model). We also derive two simplified models: the Von Mises model, with constant specific fuel consumption and propeller efficiency, and the PA one, defined by a constant specific fuel consumption and propeller efficiency depending on the velocity.

  The problem is solved numerically by means of a direct transcription method.

  The regularization term incorporated makes it possible to obtain a solution for the Von Mises and PA models, since the lead to singular problems. In addition, an indirect method is implemented to determine the singular arc through the Kelley condition, which allows to find the contribution of inertial terms, neglected in the Breguet equations, whose impact is minimal —of the order of 100 meters in the range of the aircraft. Subsequently, the numerical algorithm is validated again with this analytical solution.

  In this context, the velocity and mass (state variables), the power throttle (control), and the best range are determined. The Full model gives a maximum range of 1492 km. The differences with the Von Mises and PA models are about 24 km and 1 km, respectively. A non-optimal steady cruise is also analyzed, providing a significant reduction of the flight time, with 27 km decrease in the range, about 2 %; a quite different situation from the turbojet case, which presents reductions of the order of 10 %. The evolution of the state variables and control in the steady cruise, however, separates from the Full model. That is not the case for the PA model, which almost reproduces the Full model results. Additionally, it leads to a clear image of the physics involved in the flight: the best range comes from maximizing the product of the propeller and aerodynamic efficiencies with respect to the velocity. That determines the optimal arc.

  Next, we present a study equivalent to the previous one, but for a turfan aircraft with a turbofan engine. In this case, a Boeing 757-200, representative of narrow-body commercial airplanes is taken for the analysis. In the modeling of its propulsive system, once again, some simplifications usually employed in this type of works are removed. Hence, the dependences of the thrust and the specific fuel consumption on the velocity are considered derived from the available performance charts. Similarly to the propeller-driven aircraft, we derive a simplified model based on the Von Mises airplane model, i.e., we assume constant maximum thrust and specific fuel consumption for the given flight altitude. The implemented algorithm based on a direct transcription numerical method —with regularization term for resulting singular cases— is employed to solve the problem. Additionally, by using an indirect method, the analytical solution of the Von Mises scenario can be obtained, as well as the Breguet formulation. In this way, the impact of the inertial terms and the differences with the case of reciprocating-engined aircrafts can be determined.

  The results show that they have a small contribution, although compared to the reciprocating-engine propeller aircraft, it is significantly higher —in the order of about 30 km for the aircraft of the study.

  After the optimization process, the solution of the problem is obtained, including the state variables, the control and the best range. The Full model provides a maximum range of 3411.80 km, about 63 km longer than the Von Mises model.

  In addition, in this case, the resulting flight time is also lower, about 36 minutes, which represents a variation of about 12 %. On the other hand, for the constant speed program the range is significantly reduced, around 11% compared to the Full model, which are consistent with other results presented in the literature. The evolution of the state variables shows similar trends between the Full model and the Von Mises one, with mean differences of slightly less than 10 %. Finally, an analysis is conducted showing the influence of the altitude in the determination of optimal trajectories. Due to the high speeds associated with turbojet, or turbofan, aircrafts, an increase in flight level means that, in certain situations of the Von Mises model, the limit of the maximum velocity is reached, leading to the optimal trajectory having to be modified reducing the range with respect to the scenario in which this restriction is not effective. On the other hand, for the Full model, this circumstance does not occur since having lower associated velocities does not reach the maximum limit established.

  Finally, a new type of aerospace vehicles is analyzed. Due to the latest technological breakthroughs, High-Altitude Pseudo Satellites (HAPS) have recently become a feasible solution with great potential in the aerospace industry for Earth observation and communications, among other applications. Minimizing the energy consumption of these solar powered platforms is critical and, in the case of lighter than air vehicles, leads to smaller and more manageable platforms. When stratospheric airships perform a station-keeping mission, a certain displacement from reference point on the Earth’s surface is usually admissible. This flexibility makes it possible to define an optimal control law for the airship that minimizes the energy required to fly in a 24-hour cycle, leading to a sprint and drift trajectory.

  This research analyzes the impact on the energy balance of the mission that stems from the changes in the allowed station-keeping radius. It also considers the effects of the daylight hours, the wind intensity, and the characteristics of the on-board energy system. Once the associated Optimal Control problems have been formulated, they are rigorously solved numerically by means of the direct transcription method with regularization implemented. The results define the optimal sprint and drift trajectories adapted to every scenario, providing the time evolution of the available power that controls the flight.

  The effect of the different environmental, operational, and platform design parameters on the mission is studied. Thus, the relevance of the battery-solar panel cost ratio is shown, as it determines the change in the value of energy between day and night. In addition, the effect of daylight hours on the cost of the energy is calculated, as well as the influence of the wind, which has a greater impact at night —as energy is more expensive in this period. The analysis indicates that following the optimal trajectory leads to weight savings in the energy system of about 5.4 kilograms per kilometer of the station-keeping radius. It entails that, for example, if a 20 kilometer radius is allowed, the energy required decreases more than 6% and the payload capacity increases about a 43% when compared to the fixed-point flight.