Resumen de An extension of furstenberg's theorem of the infinitude of primes with applications to partition theory
Francisco Javier de Vega Fernández
Esta tesis está formada por un compendio de cinco artículos publicados en revistas indexadas en el índice de referencia JCR. A saber:
1. F. J. de Vega. An extension of Furstenberg's theorem of the infinitude of primes. JP J. Algebra Number Theory Appl., 53(1):21--43, 2022. http://doi.org/10.17654/0972555522002 2. ---. A complete solution of the partition of a number into arithmetic progressions. JP J. Algebra Number Theory Appl., 53(2):109--122, 2022. http://doi.org/10.17654/0972555522006 3. ---. On the parabolic partitions of a number. JP J. Algebra Number Theory Appl., 61(2):135--169, 2023. http://doi.org/10.17654/0972555523015 4. A. O. Munagi and F. J. de Vega. An extension of Sylvester's theorem on arithmetic progressions. Symmetry, 15(6):1276, 2023. http://doi.org/10.3390/sym15061276 5. F. J. de Vega. Some variants of integer multiplication. Axioms, 12(10):905, 2023. http://doi.org/10.3390/axioms12100905 En el primero de ellos, se extiende la demostración topológica sobre la infinitud de los números primos de H. Furstenberg aplicándola a una estructura algebraica que surge al modificar los axiomas de Dedekin-Peano de la aritmética usual. En esta estructura algebraica, se puede aplicar el razonamiento de H. Furstenberg y no la argumentación clásica de Euclides, estableciendo una desconexión entre ambas pruebas.
En el segundo, se resuelve el problema de las particiones de un número en progresiones aritméticas considerando los divisores de un número en los nuevos modelos de aritmética introducidos en el primer artículo.
En el tercero, generalizando los métodos estudiados en el segundo artículo, se estudian las particiones parabólicas de un número. Estas particiones cumplen que las diferencias entre las partes consecutivas de la partición forman una progresión aritmética.
En el cuarto artículo se generaliza el teorema de Sylvester sobre progresiones aritméticas que establece que todo número puede descomponerse en suma de números consecutivos positivos excepto las potencias de 2. En cierta forma, este teorema caracteriza las particiones de un número como suma de números consecutivos. La primera generalización que se propone caracterizará las particiones de un número como suma de progresiones aritméticas de términos positivos. La segunda generalización caracterizará las particiones de un número en partes cuyas diferencias entre partes consecutivas forman una progresión aritmética, demostrando entre otros el siguiente resultado: una potencia de 3 no puede ser representada por tres o más términos de una secuencia de enteros positivos cuya diferencia entre términos consecutivos son enteros consecutivos.
Por último, en el quinto artículo se exploran distintas variedades de multiplicación entre números enteros modificando el axioma del producto en la aritmética de Dedekind-Peano (PA). Además de estudiar las propiedades elementales de los nuevos modelos de aritmética que surgen, se demuestra que la verdad o falsedad de algunas conjeturas clásicas es equivalente en los nuevos modelos, aunque estos tengan operaciones producto no conmutativas ni asociativas. Además, se exploran varias propiedades numéricas generales y se proyectan sobre cada una de estas nuevas estructuras. Este hecho nos permite demostrar que propiedades indistinguibles en PA se proyectan como propiedades diferentes dentro de un modelo particular. Por último, se generaliza la idea principal y se explica cómo cada secuencia de números enteros da lugar a una estructura aritmética única dentro de los números enteros.
