Resumen de Supersymmetric Vertex Algebras and Killing Spinors

Andoni de Arriba de la Hera

• español

  El objetivo principal de esta Tesis Doctoral es el de encontrar condiciones geométricas adecuadas bajo las cuales el álgebra de vértices de las secciones globales del complejo quiral de de Rham sobre una variedad diferenciable admite embeddings de una cierta álgebra de vértices superconforme. Se ha seguido la construcción universal dada, entre otros, por Bressler y Heluani para construir el complejo quiral de de Rham, un haz de álgebras de vértices supersimétrica, y que se aplica a algebroides de Courant arbitrarios sobre variedades diferenciales. Las condiciones geométricas que permiten la construcción de estos embeddings son las ecuaciones de los espinores de Killing, que están inspiradas por la física de supergravedad heterótica. Geométricamente, estas ecuaciones provienen del enfoque de holonomía especial basado en algebroides de Courant en geometría generalizada.

  Estos embeddings se construyen en dos situaciones diferentes. Primero, en los algebroides de Courant equivariantes sobre variedades homogéneas, donde se obtienen un total de dos embeddings diferentes y esta construcción se reduce a estudiar la superafinización de un álgebra de Lie cuadrática. En este caso, las ecuaciones de los espinores de Killing vienen dadas por condiciones puramente algebraicas. En segundo lugar, para algebroides de Courant transitivos sobre variedades complejas, donde se obtiene un único embedding. En este caso, estas ecuaciones son equivalentes al sistema de Hull-Strominger, que se relaciona con modelos sigma heteróticos previamente estudiados por los físicos. Para ambas situaciones se presentan diferentes ejemplos geométricos para ilustrar todas estas nuevas construcciones.

  Este trabajo se basa en gran medida en el enfoque de las álgebras de vértices supersimétricas dado por Heluani y Kac, y en las técnicas desarrolladas por Heluani y Zabzine para construir este tipo de embeddings en el complejo quiral de de Rham.

  Como aplicación fundamental, estas construcciones nos permiten dar los primeros ejemplos de simetría espejo de tipo (0,2) en variedades complejas compactas no-Kähler. De hecho, esta tesis sienta las bases del enfoque de álgebras de vértices introducido por Borisov para este tipo de simetría espejo en variedades no-Kähler. Estos ejemplos de simetría espejo vienen dados por pares de superficies de Hopf dotados de una métrica pluricerrada Bismut-plana.

  La Tesis Doctoral está dividida en cuatro partes. La primera parte es un breve resumen de la estructura algebraica conocida como álgebras de vértices. Se presentan también aquí algunos de los embeddings clásicos de la literatura, en concreto, las construcciones de Segal-Sugawara, Kac-Todorov y Getzler. La segunda parte es un breve repaso acerca de estructuras geométricas, tanto clásicas como en geometría generalizada, y los espinores de Killing. En especial, se introduce aquí un nuevo tensor, bautizado como bi-vector de torsión, que es vital para construir los nuevos embeddings que hemos comentado anteriormente. Cabe destacar que, pese a que esta cantidad puede definirse usando geometría hermítica clásica, no parece haber sido estudiado previamente en la literatura. La tercera parte está destinada a la interacción entre las álgebras de vértices y los espinores de Killing. Primero se repasa la construcción del complejo quiral de de Rham desde diferentes ángulos, recordando algunos de los embeddings ya conocidos en geometría generalizada. Después, se incluyen los principales resultados de la presente Tesis Doctoral. Por último, tenemos un capítulo dedicado a la construcción de los ejemplos geométricos explícitos y la simetría espejo de tipo (0,2) en superficies de Hopf. Más aún, en estos dos últimos capítulos aparecen varias conjeturas naturales relacionadas con las construcciones presentadas. La última parte consiste en varios apéndices que contienen los aspectos más técnicos de la Tesis Doctoral, con el fin de hacer la lectura más amena.

• English

  The goal of the present thesis is to construct embeddings of the N = 2 superconformal vertex algebra, motivated by mirror symmetry, into the Chiral de Rham complex, provided that we have solutions to the Killing spinor equations. Our approach to the Chiral de Rham complex is based on the universal construction by Bressler and Heluani, which applies to any Courant algebroid over a smooth manifold. In fact, the main results of this document are based on the approach to SUSY vertex algebras given by Heluani and Kac, and furthermore extend the techniques developed by Heluani and Zabzine to construct N = 2 superconformal structures on the Chiral de Rham complex. The Killing spinor equations we consider come from the approach to special holonomy based on Courant algebroids in generalized geometry, and are inspired by the physics of heterotic supergravity and string theory...