Resumen de Operators on Banach spaces of Dirichlet series and semigroups of analytic functions

Carlos Gómez Cabello

• español

  Los dos objetos centrales estudiados en esta tesis son algunos operadores en espacios de Banach de series de Dirichlet y semigrupos continuos de funciones analíticas. La tesis está principalmente enfocada al estudio de los primeros, aunque el primer capítulo está dedicado por entero a los semigrupos continuos. Aún así, en distintos puntos de la tesis, ambos conceptos aparecen entremezclados. En cuanto a los semigrupos continuos {Φt}t≥0 de funciones analíticas, estos objetos son considerados en el contexto clásico del disco unidad D y en el semiplano derecho C+. Caracterizamos los semigrupos continuous en C+ con punto de Denjoy-Wolff ∞ convergentes uniformemente a la identidad en el semiplano derecho cuando t → 0+. En el caso de los semigrupos continuous en D, se da una versión cuantitativa del conocido resultado que asegura la convergencia uniforme de dichos semigrupos a la identidad en todo el disco unidad. Se prueba que el orden de convergencia es siempre O(√ t), cuando t → 0+, y este orden es óptimo. En la parte de la tesis relativa a los espacios de Banach de funciones analíticas se consideran diversos problemas. Empezamos caracterizando los semigrupos fuertemente continuos de operadores de composición en los espacios de Hardy de series de Dirichlet Hp. Ello se hace a través de los semigrupos continuos en la llamada clase de Gordon-Hedenmalm G, consistente en las funciones analíticas Φ : C+ → C+ induciendo operadores de composición acotados en el espacio H2. La existencia de una abundancia de tales semigrupos es garantizada por la descripción de los generadores infinitesimales de dichos semigrupos. A saber, tales generadores infinitesimales son aquellas series de Dirichlet que envían el semiplano derecho en su cierre. A continuación, dirigimos nuestra atención al álgebra de series de Dirichlet, esto es, las series de Dirichlet acotadas y uniformemente continuas en C+. Caracterizamos los operadores de composición CΦ acotados actuando en este álgebra. También se demuestra, para CΦ, la equivalencia entre la compacidad y la compacidad débil, dando diversas descripciones de esta propiedad. Asimismo, determinamos los semigrupos fuertemente continuos en este álgebra. Concluimos considerando una tercera clase de espacios de Banach de series de Dirichlet: una familia de espacios de tipo Bergman. En este contexto, se consieran dos problemas principales. Primeramente, la estimación de la norma de los funcionales de evaluación en una cierta colección de los mencionados espacios de Bergman. En segundo lugar, llevamos a cabo un estudio detallado del operador de Volterra Tg actuando en estos espacios.

• English

  The two main objects studied in this thesis are some operators acting on Banach spaces of Dirichlet series and continuous semigroups of analytic functions. The main part of thesis is mostly oriented towards the study of the first ones, although the first chapter is entirely devoted to continuous semigroups. Nevertheless, at several points along the thesis, both notions are often mixed together. Regarding the continuous semigroups {Φt}t≥0 of analytic functions, these objects are considered in the classical setting of the unit disc D and in the right half-plane C+. We characterise the continuous semigroups in C+ with Denjoy-Wolff point ∞ converging uniformly to the identity in the whole right half-plane as t → 0+. Concerning the continuous semigroups in D, we provide a quantitative version of the well-known fact that these semigroups converge to the identity uniformly in the whole unit disc. We prove that the rate of convergence is always O(√ t), as t → 0+, and this order of convergence is sharp. In the part of the thesis devoted to Banach spaces of Dirichlet series several problems are considered. We begin by characterising the strongly continuous semigroups of composition operators in the Hardy spaces of Dirichlet series Hp. This is done in terms of the continuous semigroups in the so-called Gordon- Hedenmalm class G. This class consists on the analytic functions Φ : C+ → C+ giving rise to bounded composition operators on H2. The existence of a rich variety of such semigroups is ensured thanks to the description of the infinitesimal generators of such continuous semigroups. Namely, these infinitesimal generators are those Dirichlet series sending the right half-plane into its closure. Then, we move on to the algebra of Dirichlet series, this is, the bounded Dirichlet series in C+ which are uniformly continuous there. We characterise the bounded composition operators CΦ acting on this algebra. We also show, for CΦ, the equivalence between compactness and weak compactness and provide several characterisations of this property. A description of the strongly continuous semigroups of composition operators in the algebra is also given. We conclude with the consideration of a third class of Banach spaces of Dirichlet series: a family of Bergman type spaces. Two main problems are considered in this context. First, the estimate of the norm of the evaluation functionals for a certain collection of these Bergman spaces. Second, we carry out a detailed study of the Volterra operator Tg acting on these Bergman type spaces of Dirichlet series.