Resumen de Solving partial differential equations using artificial neural networks/deribatu partzialetako ekuazioen ebazpena neurona-sare artifizialen bidez
- English
Partial differential equations have a wide range of applications in modeling multiple physical, biological, orsocial phenomena. Therefore, we need to approximate the solutions of these equations in computationally feasibleterms. Nowadays, among the most popular numerical methods for solving partial differential equations in engineering,we encounter the finite difference and the finite element methods. An alternative numerical method that has recentlygained popularity for numerically solving partial differential equations is the use of artificial neural networks.Artificial neural networks, or neural networks for short, are mathematical structures with universal approximationproperties. In addition, thanks to the extraordinary computational development of the last decade, neural networks havebecome accessible and powerful numerical methods for engineers and researchers. For example, imaging andlanguage processing are applications of neural networks today that show sublime performance inconceivable yearsago.This dissertation contributes to the numerical solution of partial differential equations using neural networks with thefollowing two-fold objective: investigate the behavior of neural networks as approximators of solutions of partialdifferential equations and propose neural-network-based methods for frameworks that are hardly addressable viatraditional numerical methods.As novel neural-network-based proposals, we first present a method inspired by the finite element method whenapplying mesh refinements to solve parametric problems. Secondly, we propose a general residual minimizationscheme based on a generalized version of the Ritz method. Finally, we develop a memory-based strategy to overcomea usual numerical integration limitation when using neural networks to solve partial differential equations.
- euskara
Deribatu partzialetako ekuazioak aplikazio ugari dituzte fenomeno fisiko, biologiko edo sozial anitzenmodelizazioan. Horregatik, funtsezkoa da ekuazio horien soluzioen hurbilpenak konputazionalki egingarriak direnterminoetan adieraztea. Gaur egun, ingeniaritzan, deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko zenbakizko metodoezagunenen artean daude diferentzia finituen eta elementu finituen metodoak. Duela gutxi, deribatu partzialetakoekuazioak ebazteko ospea hartu duen zenbakizko metodo bat neurona-sare artifizialen erabilpena da.Neurona-sare artifizialak edo, laburtzearren, neurona-sareak hurbilketa-propietate unibertsalak dituzten egituramatematikoak dira. Gainera, azken hamarkadako garapen konputazional apartari esker, ingeniarientzako etaikertzaileentzako zenbakizko metodo eskuragarri eta indartsu bihurtu dira. Adibidez, irudien eta hizkuntzenprozesamendua neurona-sare artifizialen gaur egungo aplikazioak dira, eta duela urte batzuk pentsaezina zenerrendimendu bikaina erakusten dute.Tesi honetan neurona-sare artifizialen bidezko deribatu partzialetako ekuazioen zenbakizko ebazpena aztertuko dugu,honako helburu bikoitzarekin: alde batetik, neurona-sareen portaera ikertzea deribatu partzialetako ekuazioen soluzioenhurbiltzaile gisa, eta bestetik, neurona-sareetan oinarritutako metodoak proposatzea, ohiko zenbakizko metodoen bideznekez ekin dakiekeen lan-esparruetarako.Neurona-sareetan oinarritutako proposamen berritzaile gisa, lehenik eta behin, elementu finituen metodoarenfuntzionamenduan oinarritutako metodo bat aurkeztuko dugu, problema parametrikoak ebazteko diskretizazioanfintzeak aplikatzen direnean. Bigarrenik, hondarren minimizazio eskema orokor bat proposatuko dugu, Ritz-enmetodoaren bertsio hedatu batean oinarritua. Azkenik, memorian oinarritutako zenbakizko integrazio teknika baterakutsiko dugu. Teknika horren helburua da deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko neurona-sareak erabiltzendirenean agertzen den ohiko muga gainditzea.
