Resumen de Multiplicadores de Schur suaves e idempotentes

Eduardo Tablate Vila

• español

  El propósito de esta memoria es encontrar extensiones no conmutativas de resultados fundamentales del Análisis Armónico en el contexto de las ´algebras de matrices o, más generalmente, de las ´algebras de von Neumann. Más allá de un avance en el contexto del Análisis Armónico no conmutativo, estos resultados encuentran una motivación fundamental en la teoría geométrica de grupos y en la clasificación de las álgebras de von Neumann. En el desarrollo del Análisis Armónico encontramos, entre muchos otros, tres descubrimientos fundamentales que motivan fuertemente este trabajo: las integrales singulares, los operadores pseudodiferenciales y el teorema de la bola de Fefferman. El propósito de esta tesis es extender todas estas ideas reemplazando espacios de funciones por ´algebras de matrices, o más generalmente ´algebras de von Neumann. Los objetos centrales de esta tesis serán los multiplicadores de Schur. Encontramos tres familias de estos multiplicadores: los suaves, relacionados con las integrales singulares, los idempotentes, relacionados con el teorema de la bola de Feffermann y una familia intermedia entre ambos. En esta tesis se aborda el estudio de las dos primeras familias. En el capítulo 2 se demuestra un criterio preciso para la acotación de multiplicadores de Schur suaves que generaliza el teorema de Hörmander-Mikhlin al contexto de las ´algebras de matrices y se analizan sus aplicaciones. En el tercer capítulo se demuestran teoremas de Hörmander-Mikhlin no conmutativos en grupos de Lie con la motivación de entender mejor los fenómenos de rigidez presentes en grupos de Lie simples. Además, en el cuarto capítulo se aborda el desarrollo de formas no conmutativas de la teoría de operadores pseudodiferenciales en el contexto de las álgebras de von Neumann. Finalmente, en el capítulo cinco se estudian multiplicadores de Schur idempotentes. Se demuestra una caracterización con local completa de multiplicadores de Schur idempotentes acotados asociados a variedades diferenciables (y a dominios suaves). Además, también se obtiene una caracterización local completa de multiplicadores de Fourier idempotentes en grupos de Lie. Esto implica un avance en la comprensión de las propiedades de aproximación de las ´algebras de von Neumann asociadas a grupos de Lie simples de rango alto, ya que un corolario de nuestros resultados es que no hay multiplicadores de Fourier idempotentes y acotados en estos grupos

• English

  The purpose of this thesis is to find noncommutative extensions of fundamental results of Harmonic Analysis in the context of matrix algebras or, more generally, in the context of von Neumann algebras. Beyond making advances in the context of noncommutative Harmonic Analysis, these results find a fundamental motivation in geometric group theory and in the classification of von Neumann algebras. In the field of Harmonic Analysis we find, among many others, three main discoveries that motivate our work: the theory of singular integrals, the theory of pseudodifferential operators and the Fefferman’s ball theorem. The purpose of this thesis is to extend these ideas replacing the function spaces by matrix algebras, or more generally von Neumann algebras. More specifically, the central objects of this thesis are the Schur multipliers. We find three families of these multipliers: the smooth ones, related with singular integrals, the idempotent ones, related with Fefferman’s theorem and an intermidiate family between both of them. In this thesis we will study the two first families. In chapter 2 we will prove a sharp criterion related with the boundedness of smooth Schur multipliers that generalises the H¨ormander- Mikhlin theorem to the context of matrix algebras and we will analyse some of its applications. Later, we will find some applications of these ideas in the context of Harmonic Analysis on group von Neumann algebras. In the third chapter we will prove some noncommutative forms of the H¨ormander-Mikhlin theorem on Lie groups with the motivation of understanding better certain rigidity phenomena that take place on simple Lie groups. Moreover, in the fourth chapter we will study some noncommutative forms of the theory of pseudodifferential operators. In the last chapter of this thesis we will study idempotent Schur multipliers. We will prove a local characterisation of Sp-bounded idempotent Schur multipliers associated to smooth manifolds (and to smooth domains). Moreover, we will prove a full local characterisation of Lp-bounded idempotent Fourier multipliers on Lie groups. This will imply a better understanding of the approximation properties of high rank simple Lie group von Neumann algebras, since an application of this result is that there are not idempotent and bounded Fourier multipliers in these groups