Resumen de Characterization of attractors for non-autonomous dynamical systems: Applications to non-dissipative case and ecological models

Juan García Fuentes

• español

  Esta tesis está dedicada a la exploración de atractores para sistema dinámicos. Nuestro análisis sigue dos enfoques distintos: uno más abstracto, centrándose en atractores no acotados, y otra investigación más aplicada que involucra el modelo Lotka-Volterra no autónomo. La sección dedicada al atractor no acotado se ocupa de establecer la existencia de un conjunto invariante y cerrado que atraiga conjuntos acotados en el caso de que existan ´orbitas que tienden al infinito en tiempo infinito, es decir, para semigrupos lentamente no disipativos. Siguiendo la línea de [CG92], definimos el concepto de atractor no acotado, establecemos condiciones para su existencia y demostramos que es el conjunto de ´orbitas acotadas en el pasado. Además, profundizamos en su estructura interna, descomponiéndolo en un conjunto de órbitas completamente acotadas y sus conexiones heteroclínicas con el infinito, y estudiamos el conjunto !-límite para este tipo de semigrupos. Continuando nuestro estudio de atractores no acotados, extendemos las técnicas al marco no autónomo, proporcionando condiciones para la existencia de un atractor pullback no acotado. Nuestro análisis abarca sus propiedades y estructura, incluido el conjunto pullback !-límite. Concluimos esta sección aplicando los resultados encontrados a la ecuación en derivadas parciales u1 = Au + f(u), demostrando la existencia del atractor no acotado bajo ciertas condiciones impuestas sobre A y f. Por otro lado, la sección dedicada al modelo Lotka-Volterra no autónomo se centra en establecer condiciones para la existencia y caracterización del atractor forward. Inicialmente consideramos que el sistema es completamente no autónomo, con el vector de tasa de crecimiento intrínseco, y la matriz de interacción entre especies como funciones dependientes del tiempo. Bajo ciertas condiciones impuestas a dicho vector, demostramos la existencia de una solución globalmente estable junto con sus conexiones heteroclínicas con las soluciones semiestables. Además, establecemos que cualquier solución que no pertenezca a este atractor es no acotada en tiempo pasado. Finalmente, simplificamos el sistema al centrarnos en un sistema Lotka-Volterra no autónomo de dos dimensiones, con solo el vector de tasas de crecimiento intrínseco como funciones dependientes del tiempo. Esta reducción nos permite aliviar la fuerza de las condiciones previamente impuestas, y proporciona una comprensión más matizada de la dinámica. Dependiendo del comportamiento del vector, identificamos dos estructuras distintas para el atractor forward donde, en ambos casos, la solución globalmente estable exhibe valores estrictamente positivos para ambas coordenadas.

• English

  This thesis is dedicated to the exploration of attractors for a dynamical system. Our analysis follows two distinct paths: a more abstract approach, focusing on unbounded attractors, and a more applied investigation involving the non-autonomous Lotka-Volterra model. The section devoted to the unbounded attractor is concerned with establishing the existence of an invariant and closed set that attracts bounded sets in case where there exists orbits that go to infinity in infinite time, that is, for slowly non-dissipative semigroups. Following the lines of [CG92], we define the concept of unbounded attractor, we give conditions for its existence and we prove that is the set of orbits bounded in the past. Additionally, we delve into its internal structure, decomposing it into a set of completely bounded orbits and their heteroclinic connections with infinity, and study the !-limit set for this type of semigroups. Continuing our exploration of unbounded attractors, we extend our methods to the nonautonomous framework, providing conditions for the existence of an unbounded pullback attractor. Our analysis encompasses its properties and structure, including the pullback !-limit set. We conclude this section by applying the derived results to the partial differential equation u1 = Au + f(u), demonstrating the existence of the unbounded attractor under certain conditions imposed on A and f. On the other hand, the section dedicated to the non-autonomous Lotka-Volterra model is focused on establishing conditions for the existence and characterization of the forward attractor. Initially, we consider the system to be entirely nonautonomous, with vector of intrinsic growth rate and matrix of interaction between species as time-dependent functions. Under certain conditions imposed on this vector, we demonstrate the existence of a globally stable solution along with its heteroclinic connections with the semistable solutions. Additionally, we establish that any solution not belonging to this attractor is backward unbounded. Finally, we simplify the system by focusing on a non-autonomous planar Lotka- Volterra system, with only the vector of intrinsic growth rates as time-dependent functions. This reduction allows us to alleviate the strength of the previously imposed conditions and provides a more nuanced understanding of the dynamics. Depending on the behavior of the vector, we identify two distinct structures for the forward attractor where, in both cases, the globally stable solution exhibits strictly positive values for both coordinates.