Resumen de Some applications of reduced order modelling to slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic PDEs

Alejandro Bandera Moreno

• español

  En las últimas décadas, el progreso tecnológico ha elevado el rol de las simulaciones numéricas a ser una herramienta fundamental en la mayoría de ciencias y aplicaciones tecnológicas. Para ser más exactos, las simulaciones basadas en modelos apoyados en ecuaciones diferenciales adquieren un papel crítico debido a su diversidad de aplicaciones, que cubren desde ingeniería hasta economía, incluyendo áreas tan importantes como la medicina. Estas simulaciones sirven de plataformas virtuales que permiten la realización de experimentos, contribuyendo enormemente a la comprensión de diversas propiedades de los sistemas y sus dinámicas. Sin embargo, trabajar con los sistemas altamente complejos necesarios para aplicaciones realistas y efectivas supone un reto significante. Tales sistemas normalmente tienen asociadas decenas de miles o millones de grados de libertad, haciendo su resolución numérica prohibitivamente cara si se utilizan métodos convencionales. Esta complejidad requiere recursos computacionales extensos, necesitando horas o incluso días de computación, junto a Computación de Alto Rendimiento o arquitecturas informáticas específicas. Esto representa un gran problema, especialmente cuando se necesita una simulación en tiempo real o interactiva, o cuando se consideran múltiples valores de los parámetros, por ejemplo, en la asistencia en los procesos de toma de decisiones o diseño industrial. Esta tesis doctoral tiene como propósito abordar el reto de los altos costes computacionales asociados con los modelos realistas, y es en este punto donde el concepto de Modelado de Orden Reducido (ROM, por sus siglas en inglés) entra en juego. La filosofía subyacente en este campo recae en reemplazar el costoso problema original por uno alternativo, computacionalmente eficiente, que mantenga las propiedades cualitativas y cuantitativas esenciales de la solución original. En general, el uso de las técnicas ROM está motivado por la necesidad de mantener un balance entre la precisión y la eficiencia computacional en varias aplicaciones, permitiendo el análisis y la manipulación de sistemas complejos de una forma más práctica y manejable. Las principales contribuciones de esta tesis doctoral se enmarcan en tres aplicaciones diferentes: sistemas dinámicos lento-rápido, modelos de turbulencia y Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) elípticas. Relativo a la primera, el foco se sitúa en el estudio y simulación de modelos de redes de actividad neuronal que involucran múltiples escalas de tiempo. Estos modelos se tratan por medio de un método inédito basado en la Descomposición Ortogonal Propia, con el objetivo específico de abordar una de las limitaciones que presenta, a saber, la potencial pérdida de estructura del modelo original. En este caso, la pérdida de la separación de escalas temporales. En lo que respecta a los modelos de turbulencia, el énfasis se encuentra en el modelo de Smagorinsky y el método de Bases Reducidas. Aquí, el objetivo es salvar una limitación del método relativa al reto de obtener un estimador de error a posteriori basado en análisis matemático, que depende de la discretización numérica. En particular, desarrollamos un estimador de error basado en la teoría de cascada de energía de Kolmogórov. Por último, relativo a las EDPs elípticas, el objetivo que nos planteamos se centra en la resolución de EDPs elípticas simétricas y en calcular el mejor subespacio que aproxima su solución. La investigación gira en torno al método de la Descomposición Generalizada Propia (PGD), con el propósito de abordar una limitación asociada al cálculo de los modos PGD óptimos. Específicamente, el propósito es explorar la posibilidad de calcular directamente estos modos en una variedad de Grassmann, utilizando el conocido algoritmo del Gradiente Descendente, adaptado a este marco.

• English

  In the last decades, the technological progress has elevated the role of numerical simulations to be a fundamental tool in the majority of sciences and technical applications. More precisely, simulations based on models that are supported in differential equations acquire a critical role due to its diversity of applications, that cover from engineering to economy, and even areas so important as medicine. These simulations serve as virtual platforms enabling experimental realization, greatly contributing to the comprehension of diverse system properties and dynamics. Nevertheless, working with highly complex systems necessary for realistic and effective applications poses a significant challenge. Such systems usually have associated ten thousands or millions of degrees of freedom, rendering their numerical solving prohibitively expensive using conventional methods. This complexity demands extensive computational resources, sometimes requiring hours or even days of computation alongside High-Performance Computing or specialized informatics architectures. This fact represents a major problem, especially when a real-time or interactive simulation is needed, or when multiple values of the parameters need consideration, such as assisting decision-making processes or industrial design. This PhD dissertation aim to address the challenge of the high computational costs associated with those realistic models, and it is at this point where the concept of Reduced Order Modelling (ROM) comes into play. The underlying philosophy in this field lies in replacing the original costly problem with an alternative, computationally efficient one, that retains essential qualitative and quantitative properties of the original solution. Overall, the use of ROM techniques is motivated by the need to strike a balance between accuracy and computational efficiency in various applications, enabling the analysis and manipulation of complex systems in a more practical and manageable manner. The main contributions of this PhD dissertation are encompassed in three different applications: slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic Partial Differential Equations (PDEs). Concerning the first, the focus lies on studying and simulating network models of neuronal activity involving multiple timescales. These models are going to be treated through a novel method based on the Proper Orthogonal Decomposition method, with a specific goal of addressing one of the limitations that it presents, namely, the potential loss of structure from the original model. In this case, the lost of the separation of the timescales. Regarding turbulence models, the emphasis is placed on the Smagorinsky model and the Reduced Basis method. Here, the aim is to overcome a limitation of the method concerning the challenge of obtaining an a posteriori error estimator using mathematical analysis, which depends on numerical discretization. In particular, we develop an a posteriori error estimator based upon the Kolmogórov’s energy cascade theory. Lastly, concerning elliptic PDEs, the goal centers on resolving symmetric elliptic PDEs and computing the best subspace approximating their solutions. The investigation revolves around the Proper Generalized Decomposition (PGD) method, aiming to address a limitation related to the computation of optimal PGD modes. Specifically, the purpose is to explore the feasibility of directly computing these modes on a Grassmann manifold, using the known Gradient Descent algorithm, adapted to this framework.