Resumen de Fixed points in Higgs bundle moduli spaces and the Prym–Narasimhan–Ramanan construction

Guillermo Barajas Ayuso

• español

  Sea X una superficie de Riemann compacta y G un grupo de Lie conexo reductivo complejo con centro Z. Sea M(X,G) el espacio de móduli de G-fibrados de Higgs poliestables sobre X. El grupo de clases de isomorfismo de Z-fibrados principales sobre X, que es isomorfo a H1(X,Z), actúa sobre M(X,G) por extensión de grupo de estructura a través del homomorfismo multiplicación Z × G → G. Los grupos Aut(G) y Aut(X) también actúan sobreM(X,G) por extensión de grupo de estructura y pullback, respectivamente. Finalmente, C∗ actúa multiplicando el campo de Higgs. Combinando estas acciones obtenemos una acción de H1(X,Z)⋊(Aut(G)×Aut(X))×C∗ enM(X,G), donde Aut(G) y Aut(X) actúan en H1(X,Z) por extensión de grupo de estructura y pullback, respectivamente Sea Γ un subgrupo finito de H1(X,Z)⋊(Aut(G)×Aut(X))×C∗. El objetivo de esta tesis es encontrar una construcción de tipo Prym–Narasimhan–Ramanan para describir los puntos fijos de la acción de Γ en M(X,G). Más concretamente, demostramos que los puntos fijos corresponden a pares de Higgs equivariantes torcidos sobre determinados recubrimientos étale de X. Nuestros resultados generalizan García-Prada–Ramanan, donde Γ es cíclico y no se considera la acción de Aut(X), y Narasimhan–Ramanan, que solo consideran acciones de subgrupos cíclicos de H1(X,C∗) para G = GL(n,C)

• English

  Let X be a compact Riemann surface and G a connected reductive complex Lie group with centre Z. Consider the moduli space M(X,G) of polystable G-Higgs bundles on X. The group of isomorphism classes of Z-bundles on X, which is isomorphic to H1(X,Z), acts on M(X,G) via extension group by the multiplication homomorphism Z × G → G. The group Aut(G) also acts on M(X,G) by extension of structure group, and so does the group Aut(X) of holomorphic automorphisms by pullback. Finally, C∗ acts by multiplying the Higgs field. Combining these provides an action of H1(X,Z) ⋊ (Aut(G) × Aut(X)) × C∗ on M(X,G), where Aut(G) and Aut(X) act on H1(X,Z) by extension of structure group and pullback, respectively. Let Γ be a finite subgroup of H1(X,Z)⋊(Aut(G)×Aut(X))×C∗. The goal of this thesis is to find a Prym–Narasimhan–Ramanan-type construction to describe the fixed points of the action of Γ on M(X,G). More precisely, we show that fixed points correspond to twisted equivariant Higgs pairs over certain étale covers of X. Our results generalize García-Prada–Ramanan, where Γ was considered to be cyclic, and Narasimhan–Ramanan, who only consider actions of cyclic subgroups of H1(X,C∗) for G = GL(n,C)