Resumen de Polinomios bien condicionados y puntos bien distribuidos en la esfera
Fátima Lizarte López
- español
Las contribuciones científicas originales incluidas en esta tesis doctoral son el resultado de tres artículos y se desarrollan en los capítulos 2, 3 y 4.
El Capítulo 1 recoge una serie de conceptos y resultados necesarios para el desarrollo y comprensión de este trabajo, relacionados principalmente con la teoría de polinomios ortogonales, la teoría del potencial y la teoría de la complejidad.
El Capítulo 2 se enmarca dentro de la teoría de polinomios ortogonales. Consideramos un producto escalar de Sobolev creado a partir de una modificación del producto escalar clásico sobre la bola unidad de dimensión d, que involucra un término extra conteniendo a las derivadas en la dirección normal. Primero construimos una base mutuamente ortogonal de polinomios que son dados en términos de los armónicos esféricos y una familia de polinomios ortogonales univariados de Sobolev en la parte radial. A continuación, nos centramos en el estudio de esta familia de polinomios de la parte radial, deduciendo propiedades algebraicas, fórmulas de conexión y propiedades asintóticas. Finalizamos mostrando algunas pruebas numéricas para ilustrar el comportamiento de sus ceros. Existen indicios que nos hacen pensar que los polinomios ortogonales con respecto al producto escalar de Sobolev considerado pueden utilizarse para detectar aberraciones ópticas en los ojos humanos y calibrar diferentes dispositivos ópticos, dando mejores resultados que los actualmente usados, los polinomios de Zernike.
El Capítulo 3 pertenece a la teoría de la complejidad. Aquí describimos una secuencia explícita de polinomios univariados bien condicionados. Esto ofrece una respuesta más explícita que las anteriormente conocidas a un problema planteado por Shub y Smale en 1993.
Por otro lado, cabe señalar que uno de los problemas abiertos más importantes en teoría del potencial es conocer de forma precisa la expresión de la expansión asintótica de la energía logarítmica mínima de N puntos en la esfera usual. En el Capítulo 4, mostramos una prueba alternativa del mejor límite inferior conocido hasta la fecha. Nuestro método tiene dos claras ventajas: simplifica enormemente la demostración original y se puede generalizar para obtener nuevas cotas inferiores para la energía de Green en la n-esfera unidad (tarea que hemos realizado). El estudio de la energía mínima en la esfera se conoce también como el problema de la distribución de puntos y se encuentra dentro del estudio de los problemas de energía mínima. Estos tipos de problemas acogen el interés de la comunidad científica por las múltiples aplicaciones que tienen tanto en el contexto matemático como aplicado: reglas de cuadratura, interpolación, muestreo estadístico, teoría de la codificación, cristalografía, morfología vírica, etc.
En la parte final de esta memoria incluimos un apartado dedicado a futuras líneas de investigación que surgen de manera inminente con los estudios realizados, varios apéndices que contienen algunos resultados técnicos y las referencias usadas.
Finalmente, citamos las referencias de los tres artículos que constituyen las contribuciones científicas originales recogidas en esta tesis doctoral:
[1] Lizarte, F., Pérez, T. E. y Piñar, M. A. (2021). The radial part of a class of Sobolev polynomials on the unit ball. Numerical Algorithms, 87, 1369-1389. https://doi.org/10.1007/s11075-020-01011-7 [2] Beltrán, C. y Lizarte, F. (2022). On the minimum value of the condition number of polynomials. IMA Journal of Numerical Analysis, 42, 2959-2983. https://doi.org/10.1093/imanum/drab070 [3] Beltrán, C. y Lizarte, F. (2023). A lower bound for the logarithmic energy on S^2 and for the Green energy on S^n. Constructive Approximation. https://doi.org/10.1007/s00365-023-09642-4
- English
The original scientific contributions included in this doctoral thesis are the result of three papers. In the first one, we study a Sobolev inner product formed from a modification of the classical inner product on the unit ball of dimension d, which involves an extra term containing the outward normal derivatives. In the second work, we find an explicit sequence of well-conditioned univariate polynomials. This offers a more explicit answer than those previously known to a problem posed by Shub and Smale in 1993. In the third article, we show an alternative proof of the sharpest known lower bound for the logarithmic energy on the usual sphere. In addition, we generalize this proof to get new lower bounds for the Green energy on the unit n-sphere.
