Resumen de Geometric invariants and inner structure
El principal objeto de estudio dentro de esta tesis es la geometría de la bola unidad de un espacio de Banach. En particular, estudiaremos en profundidad la estructura interna y extremal de dicha bola. Para empezar, establecemos algunas condiciones para las cuales se tiene la igualdad entre los puntos internos y los puntos de no-soporte de subconjuntos convexos y presentamos un subconjunto no trivial débilmente compacto y convexo sin puntos interiores en un espacio de Banach de dimensión infinita. Después, nos centramos en la estructura extremal con el estudio en profundidad de las facetas y los marcos de la bola unidad: presentamos nuevas definiciones, como la Propiedad P, los conjuntos planos, la envolvente estrellada o una cara pre-maximal. Asimismo, relacionamos los diferentes tipos de puntos y subconjuntos conocidos de la bola unidad. Presentamos una reformulación nueva del marco de la bola unidad usando el interior relativo de sus facetas. En el mismo capítulo, se definen varios términos nuevos relacionados con la planitud, como la envoltura estrellada, los subconjuntos planos y casi planos, y haremos un estudio sobre sus relaciones e interacciones como componentes convexas de la esfera unidad. La última parte de la tesis está destinada al estudio del comportamiento de la estructura de la bola unidad bajo distintos tipos de operadores. En primer lugar, las aplicaciones consideradas serán las isometrías sobreyectivas definidas entre las esferas unidad y presentaremos nuevas pruebas para resultados ya conocidos. Además, probaremos la invarianza de la planitud, caras y segmentos bajo ciertas hipótesis, donde serán de ayuda las nuevas propiedades definidas en la tesis. También mostraremos la invarianza de los puntos antípodas cuando sean redondos y de las caras maximales antípodas. Aquí, la estructura interna jugará un papel fundamental. La segunda parte relacionada con teoría de operadores concluye la tesis con el análisis de la geometría de la bola unidad bajo proyecciones. Presentaremos las S-proyecciones como una nueva aplicación de este tipo. Estas proyecciones nos serán de gran ayuda para extender subconjuntos extremales del espacio proyectado al espacio grande. Finalmente, definiremos el nuevo término de caras fuertemente maximales y veremos cómo se mantienen bajo un tipo particular de 1-proyecciones, a saber, las L2-proyecciones.
