Resumen de Invariant subspaces for classes of operators: finite rank perturbations of normal operators and positive operators
Francisco Javier González Doña
El Problema del Subespacio Invariante es, probablemente, uno de los problemas abiertos más importantes en Teoría de Operadores en espacios de Hilbert. Uno los enfoques más fructíferos que se han considerado para obtener resultados sobre este problema ha sido estudiar clases particulares de operadores y sacar partido de sus propiedades. Esta estrategia ha proporcionado resultados satisfactorios para ciertas casos, aunque a día de hoy hay clases de operadores aparentemente sencillas para las que aún se desconoce la existencia de subespacios cerrados e invariantes no triviales.
El objetivo principal de esta tesis es estudiar dicho problema para dos clases de operadores: las perturbaciones de rango finito de operadores normales en espacios de Hilbert y los operadores positivos en retículos de Banach. Tras la exposición de la introducción del problema y los preliminares matemáticos necesarios, la memoria está dividida en dos partes para clarificar la exposición de los resultados.
La primera parte de la tesis, que comprende los Capítulos 2-6, se centra en el estudio de las perturbaciones de rango finito de operadores normales diagonalizables. En el Capítulo 2, estudiamos en primer lugar perturbaciones de rango uno de tales operadores, para los que caracterizamos algunas propiedades espectrales como la single-valued extension property, así como los subespacios espectrales asociados a conjuntos cerrados del plano complejo. Como consecuencia, en el Capítulo 3, obtenemos resultados sobre la existencia de subespacios cerrados e hiperinvariantes no triviales para dichos operadores, que extienden considerablemente los resultados previos de Foias, Jung, Ko y Pearcy y Fang y Xia.
En el Capítulo 4 probamos que dichos subespacios hiperinvariantes son, de hecho, imágenes de idempotentes en el biconmutante del operador, lo que nos permite deducir la descomponibilidad para una subclase de estos operadores. En el Capítulo 5 estudiamos la existencia de subespacios reductores no triviales para perturbaciones de rango uno de operadores normales diagonalizables.
Caracterizamos la existencia de dichos subespacios en diversas situaciones, en las que la forma del espectro juega un papel fundamental. En el Capítulo 6, generalizamos para perturbaciones de rango finito varios de los resultados de los Capítulos 2-4, entre los que destacamos la existencia de subespacios cerrados e hiperinvariantes no triviales y la descomponibilidad.
En la segunda parte de la tesis, que consta del Capítulo 7, se considera la clase de operadores positivos definidos en retículos de Banach cuyo orden está inducido por una base incondicional.
Probamos que todo homomorfismo de retículos en dichos espacios posee ideales invariantes no triviales. Además, estudiamos los operadores diagonales por banda positivos en estos espacios, para los que obtenemos caracterizaciones para la existencia de ideales cerrados e invariantes no triviales y una generalización de un teorema de Grivaux para operadores tridiagonales positivos.
