Resumen de Analysis and optimal control for chemotaxis-consumption models

André Luiz Correa Vianna Filho

• español

  En esta tesis investigamos el siguiente modelo de quimiotaxis-consumo en dominios acotados de RN (N = 1, 2, 3):

  ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv, donde s ≥ 1, dotado de condiciones de contorno aisladas y condiciones iniciales para (u, v), con u y v representando la densidad de células y la concentración de la señal química, respectivamente. Bajo hipótesis poco exigentes sobre la regularidad del dominio y a través de la convergencia de las soluciones de un modelo truncado adecuado, se establecen dos resultados principales: existencia de soluciones débiles uniformes en el tiempo en dominios 3D, y unicidad y regularidad en dominios 2D (o 1D). Utilizando la teoría desarrollada en este análisis teórico, proponemos y estudiamos un esquema discreto en tiempo implícito tipo Backward Euler para dicho modelo combinado con el uso de una variable auxiliar, probando existencia de solución, estimaciones a priori uniformes en el tiempo y convergencia hacia una solución débil (u, v) del modelo quimiotaxis-consumo. A continuación abordamos problemas de control óptimo sujetos al siguiente modelo de quimiotaxis-consumo controlado de forma bilineal en un dominio acotado Ω ⊂ R3 durante un intervalo de tiempo (0, T):

  ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv + fv1Ωc , siendo f el control que actúa en un subdominio Ωc ⊂ Ω. En primer lugar, abordamos un problema de control óptimo relacionado con las soluciones débiles del modelo de quimiotaxis-consumo controlado. Demostramos la existencia de soluciones débiles que satisfacen una desigualdad de energía, la existencia de control óptimo sujeto a controles acotados y discutimos la relación entre el problema de control considerado y otros dos relacionados que pueden ser de interés. A continuación estudiamos un problema de control óptimo sujeto a soluciones fuertes del citado modelo de quimiotaxis-consumo controlado. Demostramos un criterio de regularidad que nos permite obtener existencia y unicidad de soluciones fuertes globales en el tiempo, mostramos la existencia de una solución óptima global y, utilizando un teorema de multiplicadores de Lagrange, establecemos condiciones de optimalidad de primer orden para cualquier solución óptima local, probando existencia, unicidad y regularidad de los multiplicadores de Lagrange asociados. Finalmente, en el capítulo de conclusiones, discutimos una serie de posibles trabajos futuros relacionados con los resultados presentados en esta tesis.

• English

  domains of RN (N = 1, 2, 3):

  ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv, where s ≥ 1, endowed with isolated boundary conditions and initial conditions for (u, v), with u and v representing the cell density and chemical signal concentration, respectively. Under mild regularity assumptions on the domain and through the convergence of solutions of an adequate truncated model, two main results are established:

  existence of uniform in time weak solutions in 3D domains, and uniqueness and regularity in 2D (or 1D) domains. Using the theory developed in this theoretical analysis, we propose and study a Backward Euler implicit time discrete scheme combined with the use of an auxiliary variable for the aforementioned model, proving existence of solution, uniform in time a priori estimates and convergence towards a weak solution (u, v) of the chemotaxis-consumption model. In the sequel we approach optimal control problems subject to the following bilinear controlled chemotaxis-consumption model in a bounded domain Ω ⊂ R3 during a time interval (0, T):

  ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv + fv1Ωc , with f being the control acting in a subdomain Ωc ⊂ Ω. First, we approach an optimal control problem related to weak solutions of the controlled chemotaxis-consumption model. We prove the existence of weak solutions satisfying an energy inequality, the existence of optimal control subject to bounded controls and discuss the relation between the considered control problem and two other related ones that might be of interest. Next we study an optimal control problem subject to strong solutions of the aforementioned controlled chemotaxis-consumption model. We prove a regularity criterion that allows us to get existence and uniqueness of global-in-time strong solutions, we show the existence of a global optimal solution and, using a Lagrange multipliers theorem, we establish first order optimality conditions for any local optimal solution, proving existence, uniqueness and regularity of the associated Lagrange multipliers.

  Finally, in the conclusions chapter, we discuss a series of possible future works related to the results presented in this thesis.