Resumen de On homotopical algebra and quantum field theories

Víctor Carmona Sánchez

• español

  Esta memoria está dedicada al estudio de la teoría de homotopía de álgebras operádicas y sus aplicaciones en teoría cuántica de campos (qft por sus siglas en inglés). Para ello, por un lado se desarrollan herramientas pertenecientes a la teoría de homotopía abstracta y herramientas en el ámbito de las opéradas y sus álgebras. Por otro, se utilizan estas y otras técnicas para estudiar la teoría de homotopía de dos implementaciones matemáticas de las qfts: las álgebras de factorización y las teorías cuánticas de campos algebraicas (aqfts por sus siglas en inglés).

  En el marco del álgebra homotópica, se prueban nuevos teoremas de localización de Bousfield para estructuras de semimodelos, dando a su vez aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el álgebra homológica y la topología algebraica. Se estudian también dos construcciones fundamentales en teoría de opéradas: la envolvente operádica de un álgebra y la localización derivada de opéradas. En dichos estudios, se obtienen resultados originales sobre propiedades homotópicas de dichas construcciones y numerosas aplicaciones de las mismas.

  En cuanto a teoría cuántica de campos y gracias a los resultados antes mencionados, se construyen estructuras de (semi)modelos presentando varias teorías de homotopía asociadas a las álgebras de factorización y a las aqfts. Se establecen varias interconexiones entre estas categorías de (semi)modelos, demostrando por ejemplo que la homología de factorización con contexto determina completamenta a las álgebras de factorización localmente constantes o que el axioma de la rebanada temporal de las aqfts tiene que ser relajado homotópicamente para estudiar teorías gauge en general. Adicionalmente, se estudia la renormalización de las álgebras de factorización localmente constantes, dando lugar a técnicas de discretización para teorías de campos topológicas, y se analiza cuándo se puede estrictificar el axioma de la rebanada temporal para aqfts si se consideran contextos relativistas, es decir, lorentzianos.

• English

  This thesis is devoted to study various aspects of the homotopy theory of operadic algebras and several applications to quantum field theory (qft). For these purposes, on the one hand, new results in abstract homotopy theory and in the field of operads and their algebras are obtained. On the other hand, these techniques are applied in the context of two mathematical axiomatizations of qft: factorization algebras and algebraic quantum field theories (aqfts).

  Concerning homotopical algebra, we provide new Bousfield localization theorems for semimodel categories, with applications to homological algebra and algebraic topology.

  Furthermore, two relevant operadic constructions are extensively analyzed: enveloping operads and derived localization. In particular, a detailed homotopical analysis of both constructions is presented together with numerous consequences.

  Due to these advances, two approaches to quantum field theory are studied from a homotopical point of view. Several (semi)model structures presenting homotopy theories associated to factorization algebras and algebraic quantum field theories are constructed.

  When comparing various of these model categories, we find remarkable conclusions, as the characterization of locally constant (or constructible) factorization algebras by the so-called factorization homology with context or the necessity of a homotopical version of the aqft’s strict time-slice axiom if general gauge theories are considered. In addition, we tackle the renormalization problem of topological field theories, using locally constant factorization algebras, and we find discretization techniques for these field theories, and we address the strictification problem of the time-slice axiom in Lorentzian (i.e. relativistic) contexts.