Resumen de Principal G-bundles on nodal curves

Ángel Luis Muñoz Castañeda

• español

  En esta tesis abordamos la construcción de un espacio de moduli compacto para G-fibrados principales sobre una curva nodal X. El proceso de construcción de estos espacios de moduli se basa en el trabajo de Alexander Schmitt.

  En el Capítulo 1, proporcionamos las bases de la teoría geométrica de invariantes (GIT), haces coherentes sobre curvas proyectivas reducidas y G-fibrados principales. Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la función de semiestabilidad de Hilbert-Mumford, que serán importantes en el Capítulo 3. También presentamos un análisis GIT de sumas directas de representaciones, que conduce a la Proposición 1.1.28, la cual será crucial en el Capítulo 3.

  El Capítulo 2 está dedicado a la construcción de 〖SPB(ρ)〗^(δ-(s)s). En la Sección 1, construimos el espacio de moduli de campos tensores δ-semiestables sobre X, denotado como T^(δ-(s)s), según [8, 17] (Teorema 2.1.44). Dado que la curva X no es irreducible, necesitamos sustituir el grado por la multiplicidad en la definición de δ-semiestabilidad (ver Definición 2.1.9). En la Sección 2, construimos el espacio de moduli de G-fibrados principales singular δ-semiestables, 〖SPB(ρ)〗^(δ-(s)s) (Teorema 2.2.18). Primero, mostramos cómo asociar un campo tensorial a cada G-fibrado principal singular, lo cual requiere linealizar el problema (Teorema 2.2.6). Esto se logra utilizando un resultado sobre álgebras graduadas (Lema 2.2.5). Luego, debemos demostrar que esta asignación es inyectiva (Teorema 2.2.12), utilizando el Lema 1.2.28. De esta manera, construimos el espacio de moduli como un subesquema cerrado del espacio de moduli de campos tensoriales En el Capítulo 3, nos ocupamos de ciertos objetos en la normalización de la curva X. En la Sección 1, construimos el espacio de moduli de campos tensoriales con estructuras parabólicas generalizadas sobre una curva proyectiva lisa (posiblemente disconexa) Y. La condición de semiestabilidad ahora depende de ν + 1 parámetros racionales, κ1, ..., κν, δ, debido a la presencia de la estructura adicional dada por la estructura parabólica. El espacio de moduli de G-fibrados principales singualares δ-semiestables con estructuras parabólicas generalizadas en Y se construye como un subesquema cerrado del espacio de moduli de campos tensoriales con estructura parabólica generalizada, al igual que en el caso nodal. Finalmente, estudiamos los conceptos de estabilidad para valores grandes de los parámetros de semiestabilidad. La existencia de varios puntos mínimos en la curva Y hace imposible aplicar los resultados de [52]. Aquí, el resultado técnico que nos permite resolver el problema es la Proposición 1.1.28.

  En el Capítulo 4, describimos explícitamente un procedimiento para representar un G-fibrado principal singular en X dado mediante un G-fibrado principal singular descendente en Y, y comparamos el concepto de semiestabilidad de ambos objetos para valores grandes de los parámetros de semiestabilidad. Con esto en mano, podemos presentar los resultados finales, el Teorema 4.4.8 y el Teorema 4.4.18.

• Deutsch

  In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Konstruktion eines kompakten Modulraums für G-Prinzipalbündel über einer Knotenkurve X. Der Prozess der Konstruktion diesem Modulraume basiert auf der Arbeit von A. Schmitt. In Kapitel 1 geben wir den Hintergrund in geometrische invariante Theorie (GIT), kohärente Garben über reduzierte projektiven Kurven und G-Prinzipalbündel. Wir präsentieren einige Beispiele für die Berechnung der Hilbert-Mumford- Semistabilität, die in Kapitel 3 wichtig sein wird. Wir stellen auch eine GIT- Analyse von direkten Summenrepräsentationen vor, die zu Proposition 1.1.28 führt und die in Kapitel 3 entscheidend sein werden. Kapitel 2 widmet sich der Konstruktion von SPB(p)-(s)s-P. In Abschnitt 1 konstruieren wir nach [8,17] den Modulraum von d-semistabilen Tensorfeldern über X, T-(s)s-P (Theorem 2.1.44). Da unsere Kurve X nicht irreduzibel ist, müssen wir dem Rang durch Multiplizität in der Definition der d-Semistabilität ändern (siehe Definition 2.1.9). In Abschnitt 2 konstruieren wir den Modulraum von d-semistabilen singulären G-Prinzipalbündel, SPB(p)-(s)s-P (Theorem 2.2.18). Zuerst zeigen wir, wie man jedem singulären G-Prinzipalbündel ein Tensorfeld zuordnen kann, für das, was wir brauchen, um das Problem zu linearisieren (Theorem 2.2.6). Dies geschieht durch Verwendung eines Ergebnisses graduierten Algebren (Lemma 2.2.5). Nach, müssen wir zeigen, dass diese Zuordnung injektiv ist (Theorem 2.2.12), unter Verwendung von Lemma 1.2.28. Auf diese Weise konstruieren wir den Modulraum als geschlossenes Teilschema des Modulraumes von Tensorfeldern. In Kapitel 3 beschäftigen wir uns mit Objekten auf der Normalisierung von X. In Abschnitt 1 konstruieren wir den Modulraum von Tensorfeldern mit verallgemeinerten parabolische Strukturen über eine (möglicherweise) nicht zusammenhängende glatte projektive Kurve Y. Die Stabilitätsbedingung hängt nun von v+1 (rationalen) Parametern ab, k1,...,kv, d, aufgrund der Anwesenheit der zusätzlichen Struktur, die durch die parabolische Struktur gegeben ist. Der Modulraum von (k;d)-semistabilen singulären G-Prinzipalbündel mit verallgemeinerten parabolischen Strukturen auf Y ist wie im Knotenfall als geschlossenes Subschema des Modulraumes von Tensorfeldern mit generalisierter parabolischer Struktur aufgebaut. Schließlich studieren wir der Stabilitätsbedingung für große Werte der Semistabilitätsparameter. Die Existenz mehrerer Minimalpunkte in der Kurve Y macht es unmöglich, die Ergebnisse von [52] zu übersetzen. Hier, das technische Ergebnis, das es uns ermöglicht, das Problem zu losen, ist Proposition 1.1.28. Das Ziel von Kapitel 4 ist es die Hauptergebnisse zu beweisen, Satz 4.4.8 und Satz 4.4.18.

• English

  In this thesis, we describe the construction of a compact moduli space for principal G-bundles over a node curve X. The process of the construction of these module spaces is based on the work of A. Schmitt. In Chapter 1, we give the background in GIT, coherent sheaves over reduced projective curves, and principal G-bundles. We present some examples for the calculation of the Hilbert-Mumford semistability, which will be important in Chapter 3. We also present a GIT analysis of direct sums of representations that lead to Proposition 1.1.28, which will be crucial in Chapter 3. Chapter 2 is devoted to the construction of SPB (p)-(s)s-P. In section 1, we construct the moduli space of d-semi-stable tensor fields over X, T-(s)s-P (Theorem 2.1.44) following [8,17]. Since our curve X is not irreducible, we must change the rank by the multiplicity in the definition of the d-semi-stability (see subsection 2.1.9). In Section 2, we construct the moduli space of d-semi- stable singular principal G-bundles, SPB(p)-(s)s-P (Theorem 2.2.18). First, we show how to assign a tensor field to each singular principal G-bundle, for what we need to linearize the problem (Theorem 2.2.6). This is done by using a result graded algebras (Lemma 2.2.5). We must show that this assignment is injective (Theorem 2.2.12), using Lemma 1.2.28. In this way, we construct the moduli space as a closed partial scheme of the moduli space of tensor fields. In Section 3, we discuss objects on the normalization of X. In Subsection 1 we construct the moduli space of tensor fields with generalized parabolic structures over a (possibly) non-continuous smooth projective curve Y. The semi-stability condition now depends on v+1 (rational) parameters k1,...,kv, d due to the presence of the additional structure given by the parabolic structure. The moduli space of (k;d)-(semi)stable singular G principal bundles with generalized parabolic structures on Y is constructed as a closed subscheme of the moduli space of tensor fields with a generalized parabolic structure. Finally, we study the stability concepts for large values of the semi-stability parameters. The existence of several minimal points in the curve Y makes it impossible to translate the results of [52]. Here, the technical result which allows us to solve the problem is Proposition 1.1.28. The goal of chapter 4 is to prove the main results, Theorem 4.4.8 and Theorem 4.4.18.