Resumen de Estudio asintótico de curvas y superficies

Elena Campo Montalvo

• español

  Esta memoria se encuadra en el área de la geometría algebraica, el cálculo simbólico y sus aplicaciones en el diseño geométrico asistido por ordenador (Computer Aided Geometric Design, CAGD). Su objetivo es avanzar, desde los estudios preliminares relacionados con la caracterización de curvas algebraicas planas, hacia el análisis de las propiedades de las ramas de una curva en puntos con coordenadas "suficientemente grandes" y hacia la construcción de las "asíntotas generalizadas" de una curva, extendiendo la investigación al caso de superficies algebraicas.

  Se crean nuevos métodos de computación simbólica, que caracterizan a las curvas algebraicas planas y analizan el comportamiento de sus ramas infinitas, pudiendo extraer una gran parte de la información sobre el comportamiento de una curva, estudiar la topología de ciertas variedades algebraicas, curvas planas y superficies en tres dimensiones, y representarlas gráficamente en el infinito. Además, se presentan algoritmos e implementaciones que construyen de manera efectiva las asíntotas generalizadas de una curva dada, junto con un análisis de su rendimiento.

  Se trata, por tanto, de una investigación que involucra a dos disciplinas científicas: la matemática y la computación, haciendo que las expresiones matemáticas y los objetos matemáticos puedan manejarse, utilizando el cálculo simbólico, para resolver problemas del mundo real.

  Así, las principales aportaciones e innovaciones de esta tesis doctoral son:

  (1) el desarrollo de métodos efectivos y exactos para la construcción de las ramas infinitas y de las asíntotas de una curva algebraica plana, mediante el cálculo de límites y derivadas, (2) el diseño e implementación de algoritmos eficientes para el cálculo de las asíntotas de curvas algebraicas planas (con el software de álgebra Mapl), así como el análisis de su rendimiento computacional, (3) la determinación de ciertas propiedades obtenidas a partir de las ramas infinitas y construcción de familias de curvas a partir de ciertas asíntotas y (4) definición de conceptos de rama infinita, ramas infinitas convergentes y aproximación aplicados a superficies algebraicas.

  Estos resultados pueden adaptarse al espacio $n$-dimensional y a curvas definidas por parametrizaciones no necesariamente racionales. Además, se abren futuras líneas de investigación aplicada, en el área del diseño gráfico en 3-D, en el campo de la ingeniería de datos, o en el ámbito del análisis del rendimiento y eficiencia computacional de algoritmos, entre otras áreas de investigación y desarrollo.

• English

  This memory framework is the area of algebraic geometry, symbolic calculus and its applications in Computer Aided Geometric Design (CAGD). Its aim is to advance, from the preliminary studies related to the characterization of plane algebraic curves, towards the analysis of the branches’ properties of a curve at points with “sufficiently large” coordinates and towards the construction of the “generalized asymptotes” of a curve, extending the investigation to the case of algebraic surfaces.

  New symbolic computation methods are created, which characterize plane algebraic curves and analyze the behavior of their infinite branches, being able to extract a large part of the information about the behavior of a curve, study the topology of certain algebraic varieties, plane curves and surfaces in three dimensions, and represent them graphically at infinity. In addition, algorithms and implementations that effectively construct the generalized asymptotes of a given curve are presented, along with an analysis of their performance.

  It is, therefore, an investigation that involves two scientific disciplines: mathematics and computing, making mathematical expressions and mathematical objects can be handled, using symbolic calculus, to solve real-world problems.

  Thus, the main contributions and innovations of this doctoral thesis are: (1) the development of effective and exact methods for the construction of infinite branches and asymptotes of a plane algebraic curve, by calculating limits and derivatives, (2) the design and implementation of efficient algorithms for the calculation of the asymptotes of plane algebraic curves (with the algebra software Maple), as well as the analysis of their computational performance, (3) the determination of certain properties obtained from infinite branches and the construction of families of curves from certain asymptotes and (4) the definition of concepts of infinite branch, convergent infinite and approaching branches, applied to algebraic surfaces.

  These results can be adapted to the n-dimensional space and to curves defined by not necessarily rational parameterizations. In addition, future lines of applied research are opened in the 3-D graphical design area, in the field of data engineering, or in the field of performance analysis and computational efficiency of algorithms, among other areas of research and developing.