Resumen de Study of Optimal Design Problems by the Regularity Method in Nonlinear Equations

Donato Maximiliano Vásquez Varas

• español

  Esta tesis está dedicada al estudio de un problema de diseño óptimo, el cual corresponde a la maximización de la energía interna para la solución de una ecuación del tipo p-Laplaciano para un material con dos fases. La variable de control es la región a ser rellenada por una cantidad restringida de material. En general este tipo de problemas no tiene un única solución y por lo tanto es necesario trabajar con una formulación relajada. En este caso la solución relajada es obtenida utilizando teoría de homogeneización. Mediante el método de relajación por homogeneización se obtiene un problema relajado, el cual a su vez permite obtener algunos resultados de suavidad. Este es, se demuestra que el flujo asociado al problema, está en el espacio H1( )N y que la proporción óptima de materiales es derivable en las direcciones ortogonales al flujo para las soluciones del problema relajado. Esto permite probar el problema no relajado no tiene solución cuando f = 1 y el dominio es suave, acotado y simplemente conexo. Para la formulación relajada se desarrolan dos algoritmos, uno de direcciones factibles y otro de optimización alternada. Se demuestra la convergencia y se obtienen estimaciones para del error en ambos casos. Cuando p > 2 ambos métodos solo están bien definidos para una aproximación finito dimensional del problema. Aunque las estimaciones del error para ambos métodos son similares, a través de experimentos numéricos se aprecia que el método de optimización alternada funciona mejor que el de direcciones factibles. También se estudia el problema de minimizar el primer valor propio del p-Laplaciano para un material con dos fases. Se demuestra que existe una relación entre este problema y el de la maximización de la energía. A través de esta relación se obtiene una relajación del problema y se prueban algunos resultados de suavidad para las soluciones de este problema. Como consecuencia se demuestra que si es de clase C1;1, simplemente conexo y con borde conexo, entonces el problema no relajado tiene un solución si y solo si es una bola. Se desarrolla además un algoritmo para aproximar las soluciones del problema relajado y se realizan algunas simulaciones numéricas con este algoritmo.

• English

  This thesis is devoted to the study of an optimal design problem, which is the maximization of the internal energy for the solution of a p-Laplacian equation for a two-phase material. The control variable is the region to be filled with restricted amount of the best material. In general this type of problems has no solution and therefore it is necessary to work with a relaxed formulation. We obtain a relaxed formulation for this problem using the homogenization theory. By means of the relaxation by homogenization we get a relaxed formuation, which in turns allow us to obtain some smoothness results. Namely, we show that the flux is in the Sobolev space H1( )N and that the optimal proportion of the materials is differentiable in the orthogonal direction to the flux for the solutions of the relaxed problem. This allows us to prove that the non relaxed problem does not have any solution when f = 1 and the domain is smooth, bounded and simply connected. For the relaxed formulation we develope two algorithms, a feasible directions method and an alternating minimization method. We show the convergence for both of them and we provide an estimate for the error. When p > 2 both methods are only well defined for a finitedimensional approximation, because of this we also study the difference between solving the finite-dimensional and the infinite-dimensional problems. Although the error bounds for both methods are similar, numerical experiments show that the alternating minimization method works better than the feasible directions one. We also study the problem of minimizing the first eigenvalue of the p-Laplacian operator for a two-phase material. We prove that there exists a relation between this problem and the maximization of the energy. Through this relation we provide a relaxed formulation of the problem and prove some smoothness results for these solutions. As a consequence we show that if is of class C1;1, simply connected with connected boundary, then the unrelaxed problem has a solution if and only if is a ball. We provide an algorithm to approximate the solutions of the relaxed problem and perform some numerical simulations.