Resumen de Quantitative approach to unstable non-conserved growth with fluctuations
Matteo Nicoli
Esta tesis se centra en fenómenos de invariancia de escala y de formación de patrones en modelos de crecimiento de superficies. Utilizando métodos propios de la Mecánica Estadística, hemos estudiado un modelo de crecimiento no-conservado que han sido utilizados para describir la producción de superficies con técnica experimentales de grande relevancia tecnológica. Una importante característica de estos sistemas es la presencia de formación de patrones (debido a inestabilidades morfológicas) a pequeñas escalas y desorden (rugosidad cinética) a grandes escalas. Utilizando un modelo de frontera móvil del crecimiento difusivo, hemos podido describir a través de una misma formulación superficies producidas con diferentes técnicas de crecimiento de películas delgadas, como por ejemplo el crecimiento por depósito químico de vapor y por depósito electroquímico.
El estudio de este modelo se ha llevado a cabo siguiendo dos estrategias opuestas:
(i) a través de un análisis aproximado suponiendo que el perfil de la superficie muestra pendientes pequeñas, o (ii) integrando numéricamente el problema de frontera móvil sin ninguna restricción sobre su dinámica.
Siguiendo la primera estrategia hemos obtenido una ecuación efectiva para la evolución de la altura de la superficie en la que la interrelación entre la inestabilidad morfológica, la no-localidad, la no-linealidad, y las fluctuaciones origina propiedades inesperadas. A pesar de que esta ecuación se haya derivado desde un modelo de crecimiento difusivo, su aplicabilidad es muy amplia. Debido a que las morfologías producidas por esta ecuación tienen mucha semejanza con las estructuras jerárquicas típicas de las superficies de las plantas de coliflores, el estudio de esta ecuación es importante para poder comprender los mecanismos que producen este tipo de estructuras complejas en la naturaleza. Además, esta ecuación representa solamente un ejemplo de una vasta clase de ecuaciones no locales utilizadas como descripción efectiva de fenómenos físicos muy diferentes. Utilizando el grupo de renormalización dinámico, hemos podido clasificar el comportamiento crítico de estas ecuaciones, encontrando un continuo de nuevas clases de universalidad. No obstante, una comparación cuantitativa entre las morfologías obtenidas en los experimentos de crecimiento por depósito electroquímico y el modelo de frontera móvil es posible solamente utilizando un método multiescala para su integraciónnumérica. A fin de de resolver numéricamente todas las escalas de longitud entre el transporte difusivo y las estructuras de la intercara, hemos utilizado un esquema multimalla para un modelo de frontera difusa con fluctuaciones, que converge al modelo de frontera móvil en el límite de intercara delgada. Esta metodología nos ha permitido estudiar cuantitativamente el fenómeno de la rugosidad cinética en el crecimiento por depósito electroquímico.
-) Aportaciones originales A continuanción presentamos la estructura del la tesis y sus aportaciones originales. La tesis se ha dividido en varios capítulos, y cada uno tiene sus proprias conclusiones (debido a su carácter, hemos omitido las conclusiones del capítulo 2). Para mejorar la legibilidad de la tesis hemos recogido en apéndices los detalles de los cálculos y los resultados menores. En el capítulo final hemos resumido nuestras conclusiones desde una prespectiva unificada y presentamos brevemente las líneas de investigación relacionadas con los resultados de esta tesis que abordaremos en el futuro.
En el segundo capítulo, introducimos la mayoría de los conceptos y las herramientas que utilizaremos a lo largo de la tesis. En primer lugar definimos los observables que cuantifican el proceso de rugosidad cinética y su comportamiento para las superficies con invariancia de escala. En esta parte no examinamos solamente superficies que satisfacen el ansatz de Family-Vicsek sino que consideramos también las que se caracterizan por scaling anómalo y por scaling anisótropo. Además, introducimos la noción de clase de universalidad y analizamos cómo la invariancia de escala puede coexistir con inestabilidades morfologícas y, por tanto, con la formación de un patrón. Finalmente, damos algunos detalles sobre las técnicas analíticas que utilizamos esta tesis, a saber el grupo de renormalización dinámico, y sobre el esquema numérico que utilizamos para integrar las ecuaciones interfaciales.
En la primera parte del tercer capítulo, resumimos las propiedades del modelo de frontera móvil que M. Castro estudió parcialmente en su tesis doctoral para describir el crecimiento difusivo. Este modelo unifica en la misma descripción teórica el crecimiento difusivo de intercaras obtenidas por el proceso de depósito químico de vapor y el proceso de depósito electroquímico. En la segunda parte de este capítulo, el lector encuentra la primera aportación original de la presente tesis. De hecho, focalizamos nuestro estudio sobre las ecuaciones interfaciales efectivas (lineales y no-lineales) que obtenemos desde un desarrollo perturbativo del modelo de frontera móvil en el límite de pendientes pequeñas. Gran parte de este análisis ha sido publicado en (1) y (2), mientras que los restantes resultados son parte del preprint (3).
En el cuarto capítulo, utilizamos extensivamente la técnica del grupo de renormalización dinámico para obtener el comportamiento asintótico (crítico) de la ecuación interfacial no local que hemos derivado en el capítulo anterior. Generalizamos esta ecuación a una familia entera cuyos miembros se caracterizan por ser ecuaciones no-locales, no-lineales, y, además, tener una inestabilidad morfológica. Debido a la universalidad de esta descripción continua, podemos predecir los exponentes críticos de la familia entera. Además, gracias a la integración directa de las ecuaciones interfaciales, corroboramos nuestas predicciones analíticas con la estimación numérica de los exponentes críticos. Los resultados más importantes de este capítulo están contenidos en el artículo (4) y el preprint (5), mientras que los detalles del estudio con el grupo de renormalización dinámico de las ecuaciones no locales se pueden encontrar en (6).
En el quinto capítulo, nos alejamos del tema principal de nuestras investigaciones y examinamos un resultado novedoso observado en experimentos recientes de formación de patrones por erosión iónica. La versión anisótropa de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky es una importante ecuación interfacial derivada desde primeros principios, que reproduce muchos comportamientos experimentales típicos de este contexto. Una vez más, utilizando el grupo de renormalización dinámico proponemos una explicación teórica de la evolución temporal del patrón de ondulaciones obtenido en las simulaciones numéricas de esta ecuación, lo que proporciona un argumento formal para la interpretación de algunas observaciones experimentales. Este resultado teórico es parte del preprint (7).
En el sexto capítulo, gracias a un esquema numérico multimalla, utilizamos un modelo de intercara difusa con fluctuaciones para integrar el modelo de frontera móvil, y, consecuentemente, superar las limitaciones del la aproximación de pendientes pequeñas. En este capítulo, después de una primera calibración numérica del modelo, estudiamos las complejas morfologías obtenidas por crecimiento electroquímico a largos tiempos. La interacción entre las estructuras que crecen en la superficie y el campo difusivo de largo alcance produce una intercara efectiva compuesta por las regiones activas del agregado. Abarcando todas la escalas macroscópicas relevantes para el proceso de depósito electroquímico podemos investigar el fenómeno de la rugosidad cinética de esta intercara. Este análisis ha sido publicado en (2), mientras que la formulación del modelo de intercara difusa es el tema central del preprint (3).
-) Artículos publicados y preprints (1) M. Nicoli, M. Castro y R. Cuerno, Unified moving-boundary model with fluctuations for unstable diffusive growth, Physical Review E 78, 021601 (2008).
(2) M. Nicoli, M. Castro y R. Cuerno, Kinetic roughening in a realistic model of non-conserved interface growth, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment P02036 (2009).
(3) M. Nicoli, M. Plapp, M. Castro y R. Cuerno, Surface kinetics in a phase-field model of diffusive growth, preprint (2009).
(4) M. Nicoli, R. Cuerno y M. Castro, Unstable nonlocal interface dynamics, Physical Review Letters 102, 256102 (2009).
(5) M. Castro, R. Cuerno, M. Nicoli, J. G. Buijnsters y L. Vázquez, The physics of cauliflower-like growth, preprint (2009).
(6) M. Nicoli, R. Cuerno y M. Castro, Dynamical renormalization group analysis of nonlocal unstable interface equations, preprint (2009).
(7) A. Keller, M. Nicoli, R. Cuerno, S. Facsko y W. Möller, Pattern rotation in the anisotropic stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation, preprint (2009).
-) Conclusiones alcanzadas El estudio del modelo de frontera móvil introducido por M. Castro y R. Cuerno ha evidenciado que la forma funcional de la relación de dispersión lineal depende del coeficiente cinético de transporte de masa, con importantes consecuencias para el proceso de formación de patrones y su comportamiento asintótico. Además, nuestra teoría lineal y no-lineal explica cuantitativamente los datos obtenidos por de Bruyn en experimentos de depósito electroquímico; a la luz de nuestros resultados, podemos afirmar que los exponentes críticos encontrados en la literatura se deben a efectos de tamaño finito. El estudio dinámico de la ecuación MSKPZ ha evidenciado que la interacción entre la no-localidad, la no-linealidad y las fluctuaciones produce morfologías auto-similares (en el espacio y el tiempo) caracterizadas por la relación alpha=z=1 entre el exponente de rugosidad y el exponente dinámico. Además, hemos podido estimar los exponentes críticos de la familia de ecuaciones no locales que generaliza la MSKPZ. Hemos observado que la competición entre el término de "difusión superficial" anómala y la no-linealidad de KPZ controla el comportamiento de escala de estas ecuaciones, y hemos aportado un argumentoteórico más para explicar la dificultad en observar el scaling de KPZ en experimentos de crecimiento. Hemos demonstrado que la rotación de 90 grados del patrón de ondulaciones observada en experimentos recientes de erosión iónica se puede explicar a través de la aplicación del grupo de renormalización dinámico a la versión anisótropa de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky. Finalmente, utilizando una formulación de intercara difusa del modelo de frontera móvil, hemos podido estudiar la formación de morfologías complejas similares a las que se obtienen en experimentos de depósito electroquímico. Conforme a nuestro modelo, el scaling anómalo observado en los experimentos se debe al desarrollo de un patrón de columnas y a que la intercara deja de ser univaluada. A tamaños comparables con la longitud de difusión, la rugosidad de estas intercaras no sigue una ley de potencias.
